Номер 993, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 993, страница 296.

Условие.

Найти одну из первообразных функции (993—996).

993 1) $e^{2x} - \cos 3x;$

2) $e^{\frac{x}{4}} + \sin 2x;$

3) $2 \sin \frac{x}{5} - 5e^{2x+\frac{1}{3}};$

4) $3 \cos \frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}};$

5) $\sqrt{\frac{x}{5}} + 4 \sin (4x+2);$

6) $\frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = e^{2x} - \cos{3x}$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная разности функций равна разности их первообразных.

$F(x) = \int (e^{2x} - \cos{3x})dx = \int e^{2x}dx - \int \cos{3x}dx$

Для первого слагаемого используем табличный интеграл $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx}$. При $k=2$ получаем:

$\int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

Для второго слагаемого используем табличный интеграл $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$. При $k=3$ получаем:

$\int \cos(3x)dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$

Объединяя результаты и выбирая константу интегрирования $C=0$, получаем одну из первообразных:

$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}\sin(3x)$

Ответ: $\frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}\sin(3x)$.

2) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = e^{\frac{x}{4}} + \sin{2x}$ вычислим ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (e^{\frac{x}{4}} + \sin{2x})dx = \int e^{\frac{x}{4}}dx + \int \sin{2x}dx$

Первообразная для $e^{\frac{x}{4}}$ находится по формуле $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx}$. В данном случае $k=\frac{1}{4}$, поэтому:

$\int e^{\frac{x}{4}}dx = \frac{1}{1/4}e^{\frac{x}{4}} = 4e^{\frac{x}{4}}$

Первообразная для $\sin{2x}$ находится по формуле $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$. В данном случае $k=2$, поэтому:

$\int \sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

Суммируя результаты (при $C=0$), получаем искомую первообразную:

$F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Ответ: $4e^{\frac{x}{4}} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

3) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = 2\sin\frac{x}{5} - 5e^{2x+\frac{1}{3}}$ вычислим ее неопределенный интеграл, используя свойства линейности.

$F(x) = \int (2\sin\frac{x}{5} - 5e^{2x+\frac{1}{3}})dx = 2\int \sin\frac{x}{5}dx - 5\int e^{2x+\frac{1}{3}}dx$

Для первого интеграла $\int \sin\frac{x}{5}dx$ используем формулу $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$. Здесь $k=\frac{1}{5}$, поэтому:

$\int \sin\frac{x}{5}dx = -\frac{1}{1/5}\cos\frac{x}{5} = -5\cos\frac{x}{5}$

Для второго интеграла $\int e^{2x+\frac{1}{3}}dx$ используем формулу $\int e^{kx+b}dx = \frac{1}{k}e^{kx+b}$. Здесь $k=2$, поэтому:

$\int e^{2x+\frac{1}{3}}dx = \frac{1}{2}e^{2x+\frac{1}{3}}$

Объединяя результаты с учетом коэффициентов (при $C=0$), получаем:

$F(x) = 2(-5\cos\frac{x}{5}) - 5(\frac{1}{2}e^{2x+\frac{1}{3}}) = -10\cos\frac{x}{5} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{3}}$

Ответ: $-10\cos\frac{x}{5} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{3}}$.

4) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = 3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}$ вычислим ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}})dx = 3\int \cos\frac{x}{7}dx + 2\int e^{3x-\frac{1}{2}}dx$

Для первого интеграла $\int \cos\frac{x}{7}dx$ используем формулу $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$. Здесь $k=\frac{1}{7}$, поэтому:

$\int \cos\frac{x}{7}dx = \frac{1}{1/7}\sin\frac{x}{7} = 7\sin\frac{x}{7}$

Для второго интеграла $\int e^{3x-\frac{1}{2}}dx$ используем формулу $\int e^{kx+b}dx = \frac{1}{k}e^{kx+b}$. Здесь $k=3$, поэтому:

$\int e^{3x-\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}$

Объединяя результаты с учетом коэффициентов (при $C=0$), получаем:

$F(x) = 3(7\sin\frac{x}{7}) + 2(\frac{1}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}) = 21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}$

Ответ: $21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}$.

5) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = \sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2)$ вычислим ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (\sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2))dx = \int (\frac{x}{5})^{\frac{1}{2}}dx + 4\int \sin(4x+2)dx$

Для первого слагаемого $\int (\frac{x}{5})^{\frac{1}{2}}dx$ применим формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=\frac{1}{5}$, $b=0$ и $n=\frac{1}{2}$.

$\int (\frac{x}{5})^{\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{1/5} \cdot \frac{(\frac{x}{5})^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = 5 \cdot \frac{(\frac{x}{5})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 5 \cdot \frac{2}{3}(\frac{x}{5})^{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3}(\frac{x}{5})^{\frac{3}{2}}$

Для второго слагаемого $4\int \sin(4x+2)dx$ используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$. Здесь $k=4$ и $b=2$.

$4\int \sin(4x+2)dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x+2)) = -\cos(4x+2)$

Объединяя результаты (при $C=0$), получаем:

$F(x) = \frac{10}{3}(\frac{x}{5})^{\frac{3}{2}} - \cos(4x+2)$

Ответ: $\frac{10}{3}(\frac{x}{5})^{\frac{3}{2}} - \cos(4x+2)$.

6) Для нахождения одной из первообразных функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}$ представим ее в виде $f(x) = 4(3x+1)^{-\frac{1}{2}} - 3\frac{1}{2x-5}$ и вычислим неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (4(3x+1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2x-5})dx = 4\int (3x+1)^{-\frac{1}{2}}dx - 3\int \frac{1}{2x-5}dx$

Для первого интеграла используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=3$, $b=1$ и $n=-\frac{1}{2}$.

$\int (3x+1)^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{3}\frac{(3x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{3}\frac{(3x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{3x+1}$

Для второго интеграла используем формулу $\int \frac{1}{kx+b}dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. Здесь $k=2$ и $b=-5$.

$\int \frac{1}{2x-5}dx = \frac{1}{2}\ln|2x-5|$

Объединяя результаты с учетом коэффициентов (при $C=0$), получаем:

$F(x) = 4 \cdot (\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}) - 3 \cdot (\frac{1}{2}\ln|2x-5|) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5|$

Ответ: $\frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5|$.