Номер 999, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - номер 999, страница 300.

Условие.

999 Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:

1) графиком функции $y = (x - 1)^2$, осью $O_x$ и прямой $x = 2$;

2) графиком функции $y = 2x - x^2$ и осью $O_x$;

3) графиком функции $y = \frac{2}{x}$, осью $O_x$ и прямыми $x = 1, x = 4$;

4) графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью $O_x$ и прямой $x = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y=(x-1)^2$, осью $Ox$ и прямой $x=2$.

Чтобы изобразить данную фигуру, необходимо сначала проанализировать ограничивающие ее линии. Функция $y=(x-1)^2$ задает параболу, которая является графиком стандартной параболы $y=x^2$, смещенным на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 0)$, а ее ветви направлены вверх.

Ось $Ox$ — это прямая $y=0$, которая будет служить нижним основанием криволинейной трапеции. Прямая $x=2$ — это вертикальная линия, являющаяся правой границей фигуры.

Левую границу найдем, определив точку пересечения (или касания) параболы с осью $Ox$. Решив уравнение $(x-1)^2=0$, получаем $x=1$. Это означает, что парабола касается оси $Ox$ в своей вершине $(1, 0)$. Следовательно, криволинейная трапеция расположена на отрезке $[1, 2]$ оси $Ox$.

Таким образом, для построения нужно начертить параболу $y=(x-1)^2$, отметить на оси $Ox$ отрезок от $x=1$ до $x=2$ и заштриховать область, заключенную между дугой параболы, осью $Ox$ и вертикальной прямой $x=2$. Высота фигуры на правой границе ($x=2$) равна $y=(2-1)^2=1$. Фигура ограничена точками $(1, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 1)$. Ответ:

2) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y=2x-x^2$ и осью $Ox$.

График функции $y=2x-x^2$ — это парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Нижней границей фигуры является ось $Ox$ (прямая $y=0$).

Боковые границы криволинейной трапеции определяются точками пересечения параболы с осью $Ox$. Для их нахождения решим уравнение $2x-x^2=0$: $x(2-x)=0$, откуда получаем $x_1=0$ и $x_2=2$. Это означает, что фигура расположена над осью $Ox$ на отрезке $[0, 2]$.

Найдем координаты вершины параболы, чтобы точнее построить ее график. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. Ордината вершины: $y_v = 2(1) - 1^2 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Для изображения фигуры нужно построить параболу, проходящую через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 0)$, и заштриховать область, полностью заключенную между этой параболой и осью абсцисс. Ответ:

3) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y=\frac{2}{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$, $x=4$.

Фигура ограничена следующими линиями:

• Сверху: график функции $y=\frac{2}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. На рассматриваемом отрезке $[1, 4]$ мы имеем дело с ветвью в I четверти, где функция положительна и убывает.
• Снизу: ось $Ox$ (прямая $y=0$).
• Слева: вертикальная прямая $x=1$.
• Справа: вертикальная прямая $x=4$.

Найдем значения функции на границах интервала. При $x=1$ имеем $y=\frac{2}{1}=2$. При $x=4$ имеем $y=\frac{2}{4}=0.5$. Таким образом, криволинейная трапеция ограничена дугой гиперболы, проходящей через точки $(1, 2)$ и $(4, 0.5)$, отрезком оси $Ox$ от $x=1$ до $x=4$, и вертикальными отрезками прямых $x=1$ (от $(1,0)$ до $(1,2)$) и $x=4$ (от $(4,0)$ до $(4,0.5)$).

Для изображения фигуры нужно начертить ветвь гиперболы $y=\frac{2}{x}$ в первой четверти и заштриховать область под ней, заключенную между вертикальными прямыми $x=1$ и $x=4$. Ответ:

4) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y=\sqrt{x}$, осью $Ox$ и прямой $x=4$.

Проанализируем ограничивающие линии. График функции $y=\sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая симметрична относительно оси $Ox$. Функция определена при $x \ge 0$ и ее значения неотрицательны. График начинается в точке $(0, 0)$.

Нижняя граница — ось $Ox$ (прямая $y=0$). Правая граница — вертикальная прямая $x=4$.

Левую границу найдем из точки пересечения графика $y=\sqrt{x}$ с осью $Ox$. Решая уравнение $\sqrt{x}=0$, получаем $x=0$. Значит, левая граница — прямая $x=0$ (ось $Oy$).

Фигура расположена на отрезке $[0, 4]$ оси $Ox$. Найдем значение функции на правой границе: при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Ключевыми точками для построения являются $(0, 0)$ и $(4, 2)$.

Для изображения фигуры необходимо построить график функции $y=\sqrt{x}$, который является ветвью параболы, выходящей из начала координат, и заштриховать область под этим графиком от $x=0$ до $x=4$. Ответ: