Номер 1002, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - номер 1002, страница 301.

Условие.

1002 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми $x=a$, $x=b$, осью $Ox$ и графиком функции $y=f(x)$:

1) $a=1$, $b=8$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$;

2) $a=4$, $b=9$, $f(x)=\sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $x=1$, $x=8$, осью Ox и графиком функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции $f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $a=1$, $b=8$ и $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \int_{1}^{8} x^{1/3} \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{1/3}$, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{4/3}) - \frac{3}{4}(1^{4/3})$

Поскольку $8^{4/3} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16$ и $1^{4/3} = 1$, получаем:

$S = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1 = 3 \cdot 4 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48 - 3}{4} = \frac{45}{4} = 11,25$

Ответ: $11,25$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $x=4$, $x=9$, осью Ox и графиком функции $f(x) = \sqrt{x}$, вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{4}^{9} \sqrt{x} \,dx$

В данном случае $a=4$, $b=9$ и $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{1/2}$:

$F(x) = \int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(4^{3/2})$

Поскольку $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$, получаем:

$S = \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 2 \cdot 9 - \frac{16}{3} = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54 - 16}{3} = \frac{38}{3}$

Ответ: $\frac{38}{3}$.