Номер 1004, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1004, страница 303.

Условие.

Вычислить интеграл (1004—1011).

1004 1) $\int_0^1 x dx$;

2) $\int_0^3 x^2 dx$;

3) $\int_{-1}^2 3x dx$;

4) $\int_{-2}^3 2x dx$;

5) $\int_2^3 \frac{1}{x^2} dx$;

6) $\int_1^2 \frac{1}{x^3} dx$;

7) $\int_1^4 \sqrt{x} dx$;

8) $\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — это первообразная для функции $ f(x) $. Первообразную для степенной функции $ x^n $ находим по формуле $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $. В данном случае $ f(x) = x = x^1 $, поэтому ее первообразная $ F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} $. Подставляем пределы интегрирования: $ \int_{0}^{1} x \,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2) Для функции $ f(x) = x^2 $ первообразная равна $ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} $. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9 $. Ответ: $ 9 $.

3) Для функции $ f(x) = 3x^2 $ первообразная равна $ F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3 $. Вычисляем интеграл: $ \int_{-1}^{2} 3x^2 \,dx = \left. x^3 \right|_{-1}^{2} = 2^3 - (-1)^3 = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9 $. Ответ: $ 9 $.

4) Для функции $ f(x) = 2x $ первообразная равна $ F(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2 $. Вычисляем интеграл: $ \int_{-2}^{3} 2x \,dx = \left. x^2 \right|_{-2}^{3} = 3^2 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5 $. Ответ: $ 5 $.

5) Подынтегральную функцию можно представить в виде $ f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $. Ее первообразная $ F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $. Вычисляем интеграл: $ \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{2}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6} $. Ответ: $ \frac{1}{6} $.

6) Представим функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} $. Ее первообразная $ F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} $. Вычисляем интеграл: $ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \,dx = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{-1+4}{8} = \frac{3}{8} $. Ответ: $ \frac{3}{8} $.

7) Представим функцию в виде степени: $ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $. Ее первообразная $ F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} $. Вычисляем интеграл: $ \int_{1}^{4} \sqrt{x} \,dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}((\sqrt{4})^3) - \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16-2}{3} = \frac{14}{3} $. Ответ: $ \frac{14}{3} $.

8) Представим функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} $. Ее первообразная $ F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x} $. Вычисляем интеграл: $ \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 $. Ответ: $ 2 $.