Номер 1000, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - номер 1000, страница 301.

Условие.

1000 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = a$, $x = b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x)$:

1) $a = 2$, $b = 4$, $f(x) = x^3$;

2) $a = 3$, $b = 4$, $f(x) = x^2$;

3) $a = -2$, $b = 1$, $f(x) = x^2 + 1$;

4) $a = 0$, $b = 2$, $f(x) = x^3 + 1$;

5) $a = \frac{\pi}{3}$, $b = \frac{2\pi}{3}$, $f(x) = \sin x$;

6) $a = -\frac{\pi}{6}$, $b = 0$, $f(x) = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x=a$, $x=b$, осью $Ox$ и графиком функции $y=f(x)$ (при $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$), вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_a^b f(x)dx$.
Для данного случая имеем $a=2$, $b=4$ и $f(x) = x^3$.
Вычислим интеграл: $S = \int_2^4 x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_2^4 = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60$.
Ответ: 60

2) Используем ту же формулу $S = \int_a^b f(x)dx$.
Здесь $a=3$, $b=4$ и $f(x) = x^2$.
Вычисляем интеграл: $S = \int_3^4 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_3^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{37}{3}$

3) Используем формулу $S = \int_a^b f(x)dx$.
Здесь $a=-2$, $b=1$ и $f(x) = x^2 + 1$. Функция $f(x) = x^2 + 1 \ge 1$ на всем отрезке $[-2, 1]$.
Вычисляем интеграл: $S = \int_{-2}^1 (x^2 + 1) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x\right) \right|_{-2}^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + (-2)\right) = \left(\frac{1}{3} + 1\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2\right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
Ответ: 6

4) Используем формулу $S = \int_a^b f(x)dx$.
Здесь $a=0$, $b=2$ и $f(x) = x^3 + 1$. Функция $f(x) = x^3 + 1 \ge 1$ на отрезке $[0, 2]$.
Вычисляем интеграл: $S = \int_0^2 (x^3 + 1) dx = \left. \left(\frac{x^4}{4} + x\right) \right|_0^2 = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 6

5) Используем формулу $S = \int_a^b f(x)dx$.
Здесь $a=\frac{\pi}{3}$, $b=\frac{2\pi}{3}$ и $f(x) = \sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ функция $\sin x$ положительна.
Вычисляем интеграл: $S = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x dx = \left. (-\cos x) \right|_{\pi/3}^{2\pi/3} = -\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1

6) Используем формулу $S = \int_a^b f(x)dx$.
Здесь $a=-\frac{\pi}{6}$, $b=0$ и $f(x) = \cos x$. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, 0]$ функция $\cos x$ положительна.
Вычисляем интеграл: $S = \int_{-\pi/6}^0 \cos x dx = \left. \sin x \right|_{-\pi/6}^0 = \sin(0) - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$