Номер 1005, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1005, страница 303.

Условие.

1005 1) $\int_1^e \frac{1}{x} dx;$

2) $\int_0^{\ln 2} e^x dx;$

3) $\int_{-\pi}^{2 \pi} \cos x dx;$

4) $\int_{-2 \pi}^{\pi} \sin x dx;$

5) $\int_{-2 \pi}^{\pi} \sin 2x dx;$

6) $\int_{-3 \pi}^{0} \cos 3x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$.

$\int_1^e \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.

Ответ: 1

2) Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является $F(x) = e^x$.

$\int_0^{\ln 2} e^x dx = [e^x]_0^{\ln 2} = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: 1

3) Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является $F(x) = \sin x$.

$\int_{-\pi}^{2\pi} \cos x dx = [\sin x]_{-\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0

4) Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$.

$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{-2\pi}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos(-2\pi)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

5) Первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$ является $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$.

$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2}\cos 2x]_{-2\pi}^{\pi} = (-\frac{1}{2}\cos(2\pi)) - (-\frac{1}{2}\cos(2(-2\pi))) = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos(-4\pi) = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = 0$.

Ответ: 0

6) Первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ является $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx = [\frac{1}{3}\sin 3x]_{-3\pi}^{0} = (\frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0)) - (\frac{1}{3}\sin(3(-3\pi))) = \frac{1}{3}\sin 0 - \frac{1}{3}\sin(-9\pi) = \frac{1}{3}(0) - \frac{1}{3}(0) = 0$.

Ответ: 0