Номер 1010, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1010, страница 304.

Условие.

1010 1) $\int_1^2 \frac{3}{2x-1} dx;$

2) $\int_0^1 \frac{4}{3x+2} dx;$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим определенный интеграл $\int_1^2 \frac{3}{2x-1} dx$.

Первообразная для функции вида $f(x) = \frac{k}{ax+b}$ находится по формуле $\int \frac{k}{ax+b}dx = \frac{k}{a}\ln|ax+b|+C$.

В нашем случае $k=3$, $a=2$, $b=-1$. Таким образом, первообразная равна:

$F(x) = \int \frac{3}{2x-1} dx = \frac{3}{2}\ln|2x-1|$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_1^2 \frac{3}{2x-1} dx = \left[ \frac{3}{2}\ln|2x-1| \right]_1^2 = \frac{3}{2}\ln|2 \cdot 2 - 1| - \frac{3}{2}\ln|2 \cdot 1 - 1|$

Выполним вычисления:

$\frac{3}{2}\ln|4-1| - \frac{3}{2}\ln|2-1| = \frac{3}{2}\ln(3) - \frac{3}{2}\ln(1) = \frac{3}{2}\ln(3) - \frac{3}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}\ln(3)$.

Ответ: $\frac{3}{2}\ln(3)$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_0^1 \frac{4}{3x+2} dx$.

Аналогично первому пункту, найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{4}{3x+2}$. Здесь $k=4$, $a=3$, $b=2$.

$F(x) = \int \frac{4}{3x+2} dx = \frac{4}{3}\ln|3x+2|$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^1 \frac{4}{3x+2} dx = \left[ \frac{4}{3}\ln|3x+2| \right]_0^1 = \frac{4}{3}\ln|3 \cdot 1 + 2| - \frac{4}{3}\ln|3 \cdot 0 + 2|$

Выполним вычисления:

$\frac{4}{3}\ln(5) - \frac{4}{3}\ln(2) = \frac{4}{3}(\ln 5 - \ln 2)$.

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:

$\frac{4}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right)$.

Ответ: $\frac{4}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right)$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx$.

Первообразная для функции вида $f(x) = \sin(ax+b)$ находится по формуле $\int \sin(ax+b)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$.

В нашем случае $a=2$, $b=\frac{\pi}{3}$. Таким образом, первообразная равна:

$F(x) = \int \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx = -\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

Подставляем пределы интегрирования:

$-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot 0+\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Используем формулу приведения $\cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha)$:

$-\frac{1}{2}\left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем конечный результат:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.