Номер 1012, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1012, страница 304.

Условие.

1012 Найти все числа $b > 1$, для которых выполняется равенство

$\int_{1}^{b} (b - 4x) dx \ge 6 - 5b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного неравенства необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = b - 4x$. Первообразная $F(x)$ равна:
$F(x) = \int (b - 4x) dx = bx - 4 \frac{x^2}{2} = bx - 2x^2$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{b} (b - 4x) dx = \left[ bx - 2x^2 \right]_{1}^{b} = (b \cdot b - 2b^2) - (b \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) = (b^2 - 2b^2) - (b - 2) = -b^2 - b + 2$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$-b^2 - b + 2 \ge 6 - 5b$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$-b^2 - b + 2 - 6 + 5b \ge 0$
$-b^2 + 4b - 4 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:
$b^2 - 4b + 4 \le 0$.

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:
$(b - 2)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(b - 2)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(b - 2)^2 \le 0$ может быть верным только в одном случае: когда левая часть равна нулю.
$(b - 2)^2 = 0$.

Из этого уравнения находим $b$:
$b - 2 = 0$
$b = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение начальному условию задачи $b > 1$. Так как $2 > 1$, условие выполняется.

Ответ: $b=2$.