Номер 1006, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1006, страница 303.

Условие.

1006 1) $ \int_{-3}^{2} (2x - 3) dx; $

2) $ \int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx; $

3) $ \int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx; $

4) $ \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx; $

5) $ \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$:
$F(x) = \int (2x - 3)dx = 2\frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.
Подставим пределы интегрирования:
$\int_{-3}^{2} (2x - 3)dx = (x^2 - 3x)\Big|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.
Ответ: -20

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = 5 - 4x$:
$F(x) = \int (5 - 4x)dx = 5x - 4\frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{-1} (5 - 4x)dx = (5x - 2x^2)\Big|_{-2}^{-1} = (5(-1) - 2(-1)^2) - (5(-2) - 2(-2)^2) = (-5 - 2) - (-10 - 8) = -7 - (-18) = -7 + 18 = 11$.
Ответ: 11

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - 3x^2$:
$F(x) = \int (1 - 3x^2)dx = x - 3\frac{x^3}{3} = x - x^3$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2)dx = (x - x^3)\Big|_{-1}^{2} = (2 - 2^3) - (-1 - (-1)^3) = (2 - 8) - (-1 - (-1)) = -6 - (-1 + 1) = -6 - 0 = -6$.
Ответ: -6

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + 1$:
$F(x) = \int (x^2 + 1)dx = \frac{x^3}{3} + x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)dx = (\frac{x^3}{3} + x)\Big|_{-1}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1) - (\frac{(-1)^3}{3} + (-1)) = (\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{1}{3} - 1) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$:
$F(x) = \int (3x^2 - 4x + 5)dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5)dx = (x^3 - 2x^2 + 5x)\Big|_{0}^{2} = (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2) - (0^3 - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0) = (8 - 8 + 10) - 0 = 10$.
Ответ: 10