Номер 1001, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - номер 1001, страница 301.

Условие.

1001 Найти площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$ и параболой:

1) $y = 4 - x^2$;

2) $y = 1 - x^2$;

3) $y = -x^2 + 4x - 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и осью $Ox$, необходимо найти точки пересечения параболы с осью. Эти точки будут пределами интегрирования. Приравняем уравнение параболы к нулю:

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции $y(x)$ в пределах от $x_1$ до $x_2$. Поскольку ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), на отрезке $[-2, 2]$ функция $y = 4 - x^2$ неотрицательна.

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $f(x) = 4 - x^2$ равна $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$:

$S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 1 - x^2$ и осью $Ox$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения с осью $Ox$:

$1 - x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

На отрезке $[-1, 1]$ функция $y = 1 - x^2$ неотрицательна. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Вычисляем интеграл, находя первообразную $F(x) = x - \frac{x^3}{3}$:

$S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ и осью $Ox$. Найдем точки пересечения, решив уравнение $y=0$:

$-x^2 + 4x - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства решения: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) равны: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Это наши пределы интегрирования.

На отрезке $[1, 3]$ парабола находится выше оси $Ox$, так как ее ветви направлены вниз. Площадь равна:

$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

Вычисляем интеграл. Первообразная для $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ равна $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3)\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1)\right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.