Номер 996, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 996, страница 296.

Условие.

996 1) $sin x cos x;$

2) $sin x cos 3x - cos x sin 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $ \sin x \cos x $, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.
Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус:
$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
Применив эту формулу к нашему выражению, где $ \alpha = x $, получаем:
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) $.
Ответ: $ \frac{1}{2} \sin(2x) $.

2) Выражение $ \sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x $ представляет собой правую часть формулы синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = x $ и $ \beta = 3x $.
Применим формулу, подставив наши значения:
$ \sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x = \sin(x - 3x) $.
Выполним вычитание в аргументе синуса:
$ \sin(x - 3x) = \sin(-2x) $.
Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-\gamma) = -\sin(\gamma) $), мы можем переписать выражение следующим образом:
$ \sin(-2x) = -\sin(2x) $.
Ответ: $ -\sin(2x) $.