Номер 991, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 991, страница 296.

Условие.

991 Найти все первообразные функции:

1) $ \sin (2x + 3); $

2) $ \cos (3x + 4); $

3) $ \cos \left(\frac{x}{2} - 1\right); $

4) $ \sin \left(\frac{x}{4} + 5\right); $

5) $ e^{\frac{x+1}{2}}; $

6) $ e^{3x - 5}; $

7) $ \frac{1}{2x}; $

8) $ \frac{1}{3x - 1}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \sin(2x+3)$, мы ищем неопределенный интеграл $\int \sin(2x+3) dx$. Данная функция имеет вид $g(kx+b)$, где основная функция $g(u) = \sin(u)$, а ее первообразная $G(u) = -\cos(u)$. Коэффициент при $x$ равен $k=2$.
По правилу нахождения первообразной для функции с линейным аргументом, $F(x) = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$.
Следовательно, множество всех первообразных $F(x)$ имеет вид:
$F(x) = \frac{1}{2}(-\cos(2x+3)) + C = -\frac{1}{2}\cos(2x+3) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-\frac{1}{2}\cos(2x+3) + C$.

2) Для функции $f(x) = \cos(3x+4)$ основная функция $g(u) = \cos(u)$, ее первообразная $G(u) = \sin(u)$, а коэффициент $k=3$.
Используя то же правило, что и в предыдущем пункте, получаем:
$F(x) = \int \cos(3x+4) dx = \frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos(\frac{x}{2}-1)$ основная функция $g(u) = \cos(u)$, ее первообразная $G(u) = \sin(u)$, а коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
$F(x) = \int \cos(\frac{x}{2}-1) dx = \frac{1}{1/2}\sin(\frac{x}{2}-1) + C = 2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$.

4) Для функции $f(x) = \sin(\frac{x}{4}+5)$ основная функция $g(u) = \sin(u)$, ее первообразная $G(u) = -\cos(u)$, а коэффициент $k=\frac{1}{4}$.
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{4}+5) dx = \frac{1}{1/4}(-\cos(\frac{x}{4}+5)) + C = -4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$.

5) Функцию можно записать как $f(x) = e^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}$. Здесь основная функция $g(u) = e^u$, ее первообразная $G(u) = e^u$, а коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
$F(x) = \int e^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{1/2}e^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}} + C = 2e^{\frac{x+1}{2}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2e^{\frac{x+1}{2}} + C$.

6) Для функции $f(x) = e^{3x-5}$ основная функция $g(u) = e^u$, ее первообразная $G(u) = e^u$, а коэффициент $k=3$.
$F(x) = \int e^{3x-5} dx = \frac{1}{3}e^{3x-5} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}e^{3x-5} + C$.

7) Для нахождения всех первообразных функции $f(x) = \frac{1}{2x}$ представим ее в виде $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$. Используем правило вынесения константы за знак интеграла: $\int c \cdot g(x) dx = c \int g(x) dx$. Первообразная для функции $\frac{1}{x}$ — это натуральный логарифм модуля $x$, то есть $\ln|x|$.
$F(x) = \int \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}\ln|x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{2}\ln|x| + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{1}{3x-1}$ основная функция $g(u) = \frac{1}{u}$, ее первообразная $G(u) = \ln|u|$, а коэффициент $k=3$.
По правилу нахождения первообразной для функции с линейным аргументом:
$F(x) = \int \frac{1}{3x-1} dx = \frac{1}{3}\ln|3x-1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}\ln|3x-1| + C$.