Номер 985, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 54. Первообразная - номер 985, страница 293.

Условие.

985 Найти все первообразные функции:

1) $x^4$;

2) $x^3$;

3) $x^{-3}$;

4) $x^{-\frac{1}{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения всех первообразных (неопределенного интеграла) для степенной функции вида $f(x) = x^n$ используется общая формула:
$F(x) = \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$,
где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Эта формула применима для любого действительного числа $n$, кроме $n = -1$.

1) Дана функция $f(x) = x^4$.
Здесь показатель степени $n = 4$. Применяем формулу для нахождения первообразной:
$F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^5}{5} + C$.

2) Дана функция $f(x) = x^3$.
Здесь показатель степени $n = 3$. Применяем формулу:
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + C$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-3}$.
Здесь показатель степени $n = -3$. Так как $n \neq -1$, применяем ту же формулу:
$F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}x^{-2} + C$.
Результат также можно записать в виде дроби: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.
Здесь показатель степени $n = -\frac{1}{2}$. Применяем формулу:
$F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C$.
Результат также можно записать с использованием квадратного корня: $F(x) = 2\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + C$.