Номер 979, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 979, страница 290.

Условие.

979. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности $2S$. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось $\frac{5}{2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть длина кузова - $l$, ширина - $w$, а высота - $h$. Кузов представляет собой открытый сверху прямоугольный параллелепипед.

Площадь его поверхности состоит из площади дна и площади четырех боковых стенок. Формула для площади поверхности $A$ выглядит так:

$A = lw + 2lh + 2wh = lw + 2h(l+w)$

Согласно условию задачи, эта площадь равна $2S$:

$lw + 2h(l+w) = 2S$ (1)

Объем кузова $V$, который нам нужно максимизировать, вычисляется по формуле:

$V = lwh$ (2)

Также из условия известно отношение длины к ширине:

$\frac{l}{w} = \frac{5}{2}$, откуда следует, что $l = \frac{5}{2}w$ (3)

Наша цель - выразить объем $V$ как функцию одной переменной, чтобы найти ее максимум. Для этого сначала выразим высоту $h$ через одну из переменных (например, $w$), используя уравнение площади поверхности (1) и соотношение (3).

Подставим $l = \frac{5}{2}w$ в уравнение (1):

$(\frac{5}{2}w)w + 2h(\frac{5}{2}w + w) = 2S$

$\frac{5}{2}w^2 + 2h(\frac{7}{2}w) = 2S$

$\frac{5}{2}w^2 + 7wh = 2S$

Теперь выразим $h$ из этого уравнения:

$7wh = 2S - \frac{5}{2}w^2$

$h = \frac{2S - \frac{5}{2}w^2}{7w} = \frac{2S}{7w} - \frac{5w}{14}$

Теперь подставим выражения для $l$ и $h$ в формулу объема (2):

$V(w) = lwh = (\frac{5}{2}w) \cdot w \cdot (\frac{2S}{7w} - \frac{5w}{14})$

$V(w) = \frac{5}{2}w^2 (\frac{2S}{7w} - \frac{5w}{14}) = (\frac{5w^2}{2} \cdot \frac{2S}{7w}) - (\frac{5w^2}{2} \cdot \frac{5w}{14})$

$V(w) = \frac{5S}{7}w - \frac{25}{28}w^3$

Чтобы найти значение $w$, при котором объем будет максимальным, найдем производную функции $V(w)$ по переменной $w$ и приравняем ее к нулю.

$V'(w) = \frac{d}{dw}(\frac{5S}{7}w - \frac{25}{28}w^3) = \frac{5S}{7} - 3 \cdot \frac{25}{28}w^2 = \frac{5S}{7} - \frac{75}{28}w^2$

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{5S}{7} - \frac{75}{28}w^2 = 0$

$\frac{75}{28}w^2 = \frac{5S}{7}$

$w^2 = \frac{5S}{7} \cdot \frac{28}{75} = \frac{5S \cdot 4}{75} = \frac{4S}{15}$

Так как ширина $w$ не может быть отрицательной, получаем:

$w = \sqrt{\frac{4S}{15}} = 2\sqrt{\frac{S}{15}}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной: $V''(w) = -\frac{75}{14}w$. Поскольку $w>0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает наличие максимума.

Теперь найдем соответствующую длину $l$ из соотношения (3):

$l = \frac{5}{2}w = \frac{5}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{15}} = 5\sqrt{\frac{S}{15}}$

Ответ: для получения наибольшего объема длина кузова должна быть $5\sqrt{\frac{S}{15}}$, а ширина $2\sqrt{\frac{S}{15}}$.