Номер 983, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 54. Первообразная - номер 983, страница 293.

Условие.

Упражнения

983 Показать, что функция $F (x)$ является первообразной функции $f (x)$ на всей числовой прямой:

1) $F(x) = \frac{x^6}{6}$, $f(x) = x^5$;

2) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$, $f(x) = x^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Нам нужно показать, что это равенство верно на всей числовой прямой ($x \in \mathbb{R}$).

1) Даны функции $F(x) = \frac{x^6}{6}$ и $f(x) = x^5$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = \left(\frac{x^6}{6}\right)' = \frac{1}{6} \cdot (x^6)' = \frac{1}{6} \cdot 6x^{6-1} = x^5$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = x^5$ и $f(x) = x^5$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех действительных $x$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.

2) Даны функции $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$ и $f(x) = x^4$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования суммы и производную константы $(c)'=0$:
$F'(x) = \left(\frac{x^5}{5} + 1\right)' = \left(\frac{x^5}{5}\right)' + (1)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} + 0 = x^4$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = x^4$ и $f(x) = x^4$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех действительных $x$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.