Номер 977, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 977, страница 289.

Условие.

977 Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Согласно условию задачи, высота пирамиды $h$ является постоянной величиной и равна 12. Основанием служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого $c$ равна 4.$h = 12$$c = 4$

Подставив значение высоты в формулу объема, получаем:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot 12 = 4 \cdot S_{осн}$Из этого соотношения следует, что объем пирамиды $V$ достигает своего наибольшего значения тогда, когда площадь ее основания $S_{осн}$ максимальна. Таким образом, задача сводится к нахождению максимальной площади прямоугольного треугольника с гипотенузой 4.

Пусть катеты прямоугольного треугольника в основании равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора их связь с гипотенузой $c$ выражается как:$a^2 + b^2 = c^2 = 4^2 = 16$

Площадь такого треугольника равна:$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b$

Для нахождения максимального значения площади воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом для положительных чисел $a^2$ и $b^2$:$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot b^2}$

Подставим известное значение $a^2 + b^2 = 16$ в неравенство:$\frac{16}{2} \ge \sqrt{(ab)^2}$$8 \ge ab$

Таким образом, максимальное значение произведения катетов $ab$ равно 8. Равенство достигается в случае, когда $a^2 = b^2$, то есть $a = b$. Это означает, что прямоугольный треугольник с максимальной площадью при заданной гипотенузе является равнобедренным.

Теперь мы можем вычислить максимальную площадь основания:$S_{max} = \frac{1}{2} (ab)_{max} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

Наконец, найдем наибольший возможный объем пирамиды:$V_{max} = 4 \cdot S_{max} = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16