Номер 978, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 978, страница 290.

Условие.

978 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $p$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$.

Периметр осевого сечения, по условию, равен $p$. Запишем это в виде формулы: $P = 2(2r + h) = p$

Из этой формулы мы можем выразить высоту $h$ через радиус $r$: $4r + 2h = p$ $2h = p - 4r$ $h = \frac{p - 4r}{2} = \frac{p}{2} - 2r$

Поскольку размеры должны быть положительными, имеем ограничения: $r > 0$ и $h > 0$. Из $h > 0$ следует $\frac{p}{2} - 2r > 0$, что означает $2r < \frac{p}{2}$, или $r < \frac{p}{4}$. Таким образом, $r$ должен находиться в интервале $(0, \frac{p}{4})$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма от одной переменной $r$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3$

Чтобы найти максимальный объём, нужно найти точку максимума функции $V(r)$. Для этого найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю: $V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $\pi p r - 6\pi r^2 = 0$ $\pi r(p - 6r) = 0$

Так как $r > 0$, то единственной критической точкой в рассматриваемом интервале является $r$, для которого $p - 6r = 0$. $6r = p$ $r = \frac{p}{6}$

Эта точка $r = \frac{p}{6}$ принадлежит интервалу $(0, \frac{p}{4})$, так как $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдём вторую производную: $V''(r) = \frac{d}{dr}(\pi p r - 6\pi r^2) = \pi p - 12\pi r$

При $r = \frac{p}{6}$: $V''\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 12\pi\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 2\pi p = -\pi p$ Так как периметр $p > 0$, вторая производная отрицательна ($V'' < 0$), что подтверждает, что при $r = \frac{p}{6}$ достигается максимум объёма.

Теперь найдем высоту $h$ для этого радиуса: $h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Наконец, вычислим наибольший объём, подставив найденные значения $r = \frac{p}{6}$ и $h = \frac{p}{6}$ в формулу объёма: $V_{max} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \left(\frac{p}{6}\right) = \pi \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216}$

Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$