Номер 975, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 975, страница 289.

Условие.

975. Найти точки перегиба функции:

1) $f(x) = 6x^2 - x^3;$

2) $f(x) = 3x^2 + 4x^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения точек перегиба функции $f(x) = 6x^2 - x^3$ необходимо найти ее вторую производную. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, являются кандидатами в точки перегиба. Если при переходе через такую точку вторая производная меняет знак, то это и есть точка перегиба.

Сначала найдем первую производную функции:
$f'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2$.

Теперь найдем вторую производную:
$f''(x) = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти абсциссу возможной точки перегиба:
$12 - 6x = 0$
$6x = 12$
$x = 2$.

Определим знаки второй производной на интервалах, на которые точка $x=2$ делит числовую ось.
При $x < 2$, например, при $x = 0$, имеем $f''(0) = 12 - 6 \cdot 0 = 12 > 0$. На интервале $(-\infty; 2)$ график функции вогнутый (выпуклый вниз).
При $x > 2$, например, при $x = 3$, имеем $f''(3) = 12 - 6 \cdot 3 = 12 - 18 = -6 < 0$. На интервале $(2; +\infty)$ график функции выпуклый (выпуклый вверх).

Поскольку при переходе через точку $x=2$ вторая производная меняет знак, то $x=2$ является абсциссой точки перегиба.

Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=2$ в исходную функцию:
$f(2) = 6 \cdot 2^2 - 2^3 = 6 \cdot 4 - 8 = 24 - 8 = 16$.

Следовательно, точка перегиба имеет координаты $(2; 16)$.

Ответ: $(2; 16)$.

2)

Для нахождения точек перегиба функции $f(x) = 3x^2 + 4x^3$ воспользуемся тем же алгоритмом.

Найдем первую производную:
$f'(x) = (3x^2 + 4x^3)' = 6x + 12x^2$.

Найдем вторую производную:
$f''(x) = (6x + 12x^2)' = 6 + 24x$.

Приравняем вторую производную к нулю:
$6 + 24x = 0$
$24x = -6$
$x = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Определим знаки второй производной на интервалах, на которые точка $x = -1/4$ делит числовую ось.
При $x < -1/4$, например, при $x = -1$, имеем $f''(-1) = 6 + 24 \cdot (-1) = 6 - 24 = -18 < 0$. На интервале $(-\infty; -1/4)$ график функции выпуклый (выпуклый вверх).
При $x > -1/4$, например, при $x = 0$, имеем $f''(0) = 6 + 24 \cdot 0 = 6 > 0$. На интервале $(-1/4; +\infty)$ график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Так как при переходе через точку $x = -1/4$ вторая производная меняет знак, то $x = -1/4$ является абсциссой точки перегиба.

Найдем ординату этой точки, подставив ее значение в исходную функцию:
$f(-\frac{1}{4}) = 3 \cdot (-\frac{1}{4})^2 + 4 \cdot (-\frac{1}{4})^3 = 3 \cdot \frac{1}{16} + 4 \cdot (-\frac{1}{64}) = \frac{3}{16} - \frac{4}{64} = \frac{3}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

Следовательно, точка перегиба имеет координаты $(-\frac{1}{4}; \frac{1}{8})$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; \frac{1}{8})$.