Номер 972, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 972, страница 289.

Условие.

972 Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна $l$, найти треугольник с наибольшей площадью.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Площадь треугольника $S$ определяется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$.

По условию задачи, сумма одного из катетов и гипотенузы равна $l$. Без ограничения общности, пусть это будет катет $a$: $a + c = l$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

Наша задача — найти максимальное значение площади $S$. Для этого выразим площадь как функцию одной переменной. Выразим $c$ и $b$ через $a$ и константу $l$. Из условия $a + c = l$ получаем $c = l - a$. Так как $c$ — гипотенуза, а $a$ — катет, должно выполняться неравенство $c > a$, то есть $l - a > a$, что дает $l > 2a$ или $a < \frac{l}{2}$. Также длина катета должна быть положительной, $a > 0$. Таким образом, область определения для $a$ — это интервал $(0, \frac{l}{2})$.

Теперь выразим катет $b$ через $a$, используя теорему Пифагора: $b^2 = c^2 - a^2 = (l - a)^2 - a^2 = l^2 - 2la + a^2 - a^2 = l^2 - 2la$. Отсюда $b = \sqrt{l^2 - 2la}$.

Подставим выражение для $b$ в формулу площади: $S(a) = \frac{1}{2}a\sqrt{l^2 - 2la}$.

Чтобы найти максимум функции $S(a)$, можно найти максимум ее квадрата $S^2(a)$, так как это упрощает вычисления (избавляет от корня), а точка максимума для $S(a)$ и $S^2(a)$ совпадает, поскольку $S(a) > 0$. Пусть $f(a) = S^2(a) = \left(\frac{1}{2}a\sqrt{l^2 - 2la}\right)^2 = \frac{1}{4}a^2(l^2 - 2la) = \frac{1}{4}(l^2a^2 - 2la^3)$.

Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$: $f'(a) = \frac{1}{4}(2l^2a - 6la^2)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\frac{1}{4}(2l^2a - 6la^2) = 0$. $2la(l - 3a) = 0$. Поскольку $l > 0$ и $a > 0$, то $2la \neq 0$. Следовательно, нулю должна быть равна скобка: $l - 3a = 0$, откуда $a = \frac{l}{3}$.

Убедимся, что $a = \frac{l}{3}$ является точкой максимума. Эта точка принадлежит области определения $(0, \frac{l}{2})$. Найдем вторую производную: $f''(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{1}{4}(2l^2a - 6la^2)\right) = \frac{1}{4}(2l^2 - 12la)$. Подставим значение $a = \frac{l}{3}$: $f''\left(\frac{l}{3}\right) = \frac{1}{4}\left(2l^2 - 12l\left(\frac{l}{3}\right)\right) = \frac{1}{4}(2l^2 - 4l^2) = \frac{1}{4}(-2l^2) = -\frac{l^2}{2}$. Так как $l^2 > 0$, вторая производная $f''\left(\frac{l}{3}\right) < 0$, что означает, что в точке $a = \frac{l}{3}$ функция имеет максимум.

Теперь найдем остальные стороны треугольника: Катет $a = \frac{l}{3}$. Гипотенуза $c = l - a = l - \frac{l}{3} = \frac{2l}{3}$. Второй катет $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{\left(\frac{2l}{3}\right)^2 - \left(\frac{l}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4l^2}{9} - \frac{l^2}{9}} = \sqrt{\frac{3l^2}{9}} = \sqrt{\frac{l^2}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, мы нашли стороны треугольника с наибольшей площадью. Можно также найти его углы. Пусть $\alpha$ — угол, противолежащий катету $a$. $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{l/3}{2l/3} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$. Второй острый угол $\beta$ будет равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: Треугольник с наибольшей площадью — это прямоугольный треугольник, у которого катет, входящий в заданную сумму, равен $\frac{l}{3}$, второй катет равен $\frac{l\sqrt{3}}{3}$, а гипотенуза равна $\frac{2l}{3}$. Острые углы такого треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.