Номер 973, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 973, страница 289.

Условие.

973 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, сумма длин катетов равна 40. Это можно записать в виде уравнения:
$a + b = 40$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Наша задача — найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Для этого выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим катет $b$:
$b = 40 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:
$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (40 - a)$
Раскроем скобки:
$S(a) = 20a - \frac{1}{2}a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -\frac{1}{2}a^2 + 20a$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен (равен $-\frac{1}{2}$). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $a$ вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае коэффициенты равны $A = -\frac{1}{2}$ и $B = 20$. Вычислим значение $a$, при котором площадь будет максимальной:
$a = -\frac{20}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{20}{-1} = 20$

Итак, длина одного катета равна 20. Теперь найдем длину второго катета, используя соотношение $a + b = 40$:
$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$

Следовательно, площадь треугольника будет наибольшей, когда он является равнобедренным, то есть когда его катеты равны.

Ответ: чтобы площадь треугольника была наибольшей, оба катета должны иметь длину 20.