Номер 974, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 974, страница 289.

Условие.

974 Сумма диагоналей параллелограмма равна $a$. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны параллелограмма равны $b$ и $c$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи, сумма диагоналей равна $a$: $d_1 + d_2 = a$

Требуется найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. Обозначим эту сумму через $S$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому: $S = b^2 + c^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + c^2)$

Воспользуемся свойством параллелограмма, связывающим его стороны и диагонали: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Это тождество параллелограмма: $d_1^2 + d_2^2 = 2(b^2 + c^2)$

Таким образом, мы видим, что $S = d_1^2 + d_2^2$. Наша задача сводится к нахождению наименьшего значения выражения $d_1^2 + d_2^2$ при условии, что $d_1 + d_2 = a$ (и, конечно, $d_1 > 0$, $d_2 > 0$, так как это длины).

Из условия $d_1 + d_2 = a$ выразим одну из диагоналей, например, $d_2 = a - d_1$. Подставим это выражение в формулу для $S$: $S = d_1^2 + (a - d_1)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $S = d_1^2 + (a^2 - 2ad_1 + d_1^2) = 2d_1^2 - 2ad_1 + a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(d_1) = 2d_1^2 - 2ad_1 + a^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $d_1^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, эта функция имеет точку минимума.

Координата вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -B / (2A)$. В нашем случае переменная — $d_1$, $A=2$, $B=-2a$. Найдем значение $d_1$, при котором $S$ достигает минимума: $d_{1, \text{вершина}} = -(-2a) / (2 \cdot 2) = 2a / 4 = a/2$

При этом значении $d_1$ значение $d_2$ будет: $d_2 = a - d_1 = a - a/2 = a/2$

Это означает, что сумма квадратов сторон будет наименьшей, когда диагонали равны, то есть когда параллелограмм является прямоугольником.

Теперь найдем наименьшее значение суммы $S$, подставив $d_1 = a/2$ и $d_2 = a/2$ в выражение для $S$: $S_{\min} = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$

Ответ: $a^2/2$.