Номер 984, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 54. Первообразная - номер 984, страница 293.

Условие.

984 Показать, что функция $F (x)$ является первообразной функции $f (x)$ при $x > 0$:

1) $F (x) = \frac{2}{x}$, $f (x) = -\frac{2}{x^2}$;

2) $F (x) = 1 + \sqrt{x}$, $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ при $x > 0$, нам необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

1)

Даны функции $F(x) = \frac{2}{x}$ и $f(x) = -\frac{2}{x^2}$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим ее в виде степенной функции:

$F(x) = 2x^{-1}$

Используем правило дифференцирования для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -2x^{-2}$

Перепишем результат в виде дроби:

$F'(x) = -\frac{2}{x^2}$

Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, мы видим, что они совпадают: $F'(x) = f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ при $x > 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Даны функции $F(x) = 1 + \sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим корень в виде степени:

$F(x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$

Дифференцируем по правилу производной суммы и производной степенной функции. Производная константы равна нулю.

$F'(x) = (1 + x^{\frac{1}{2}})' = (1)' + (x^{\frac{1}{2}})' = 0 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Перепишем результат в виде дроби с корнем:

$F'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, мы видим, что они совпадают: $F'(x) = f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ при $x > 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.