Номер 989, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 989, страница 296.

Условие.

989 1) $3 \cos x - 4 \sin x$;

2) $5 \sin x + 2 \cos x$;

3) $e^x - 2 \cos x$;

4) $3e^x - \sin x$;

5) $5 - e^{-x} + 3 \cos x$;

6) $1 + 3e^x - 4 \cos x$;

7) $6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3e^x$;

8) $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^{-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 3 \cos x - 4 \sin x$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла $\int (3 \cos x - 4 \sin x) \, dx$.

Используя свойство линейности интеграла, разобьем его на сумму интегралов и вынесем константы за знаки интегралов:

$ \int (3 \cos x - 4 \sin x) \, dx = 3 \int \cos x \, dx - 4 \int \sin x \, dx $

Применяя табличные интегралы $\int \cos x \, dx = \sin x$ и $\int \sin x \, dx = -\cos x$, получаем:

$ 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3 \sin x + 4 \cos x + C $

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $3 \sin x + 4 \cos x + C$

2) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 5 \sin x + 2 \cos x$.

Находим неопределенный интеграл, используя свойство линейности:

$\int (5 \sin x + 2 \cos x) \, dx = 5 \int \sin x \, dx + 2 \int \cos x \, dx$

Подставляем табличные интегралы $\int \sin x \, dx = -\cos x$ и $\int \cos x \, dx = \sin x$:

$5(-\cos x) + 2(\sin x) + C = -5 \cos x + 2 \sin x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $2 \sin x - 5 \cos x + C$

3) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = e^x - 2 \cos x$.

Находим неопределенный интеграл, применяя свойство линейности:

$\int (e^x - 2 \cos x) \, dx = \int e^x \, dx - 2 \int \cos x \, dx$

Используем табличные интегралы $\int e^x \, dx = e^x$ и $\int \cos x \, dx = \sin x$:

$e^x - 2(\sin x) + C = e^x - 2 \sin x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $e^x - 2 \sin x + C$

4) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 3e^x - \sin x$.

Находим неопределенный интеграл, применяя свойство линейности:

$\int (3e^x - \sin x) \, dx = 3 \int e^x \, dx - \int \sin x \, dx$

Подставляем табличные интегралы $\int e^x \, dx = e^x$ и $\int \sin x \, dx = -\cos x$:

$3(e^x) - (-\cos x) + C = 3e^x + \cos x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $3e^x + \cos x + C$

5) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 5 - e^{-x} + 3 \cos x$.

Находим неопределенный интеграл, используя свойство линейности:

$\int (5 - e^{-x} + 3 \cos x) \, dx = \int 5 \, dx - \int e^{-x} \, dx + 3 \int \cos x \, dx$

Находим каждый интеграл по отдельности, используя табличные значения: $\int k \, dx = kx$, $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax}$ (здесь $a=-1$) и $\int \cos x \, dx = \sin x$:

$5x - \frac{e^{-x}}{-1} + 3(\sin x) + C = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $5x + e^{-x} + 3 \sin x + C$

6) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 1 + 3e^x - 4 \cos x$.

Находим неопределенный интеграл, применяя свойство линейности:

$\int (1 + 3e^x - 4 \cos x) \, dx = \int 1 \, dx + 3 \int e^x \, dx - 4 \int \cos x \, dx$

Используем табличные интегралы $\int 1 \, dx = x$, $\int e^x \, dx = e^x$ и $\int \cos x \, dx = \sin x$:

$x + 3(e^x) - 4(\sin x) + C = x + 3e^x - 4 \sin x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $x + 3e^x - 4 \sin x + C$

7) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3e^x$.

Сначала представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 6x^{1/3} - 2 \cdot \frac{1}{x} + 3e^x$.

Находим неопределенный интеграл, применяя свойство линейности:

$\int (6x^{1/3} - \frac{2}{x} + 3e^x) \, dx = 6 \int x^{1/3} \, dx - 2 \int \frac{1}{x} \, dx + 3 \int e^x \, dx$

Используем табличные интегралы: для степенной функции $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, для $\frac{1}{x}$ и для экспоненты:

$6 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 2 \ln|x| + 3e^x + C = 6 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 2 \ln|x| + 3e^x + C$

Упростим выражение: $6 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} - 2 \ln|x| + 3e^x + C = \frac{9}{2} x^{4/3} - 2 \ln|x| + 3e^x + C$.

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $\frac{9}{2}x^{4/3} - 2 \ln|x| + 3e^x + C$

8) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^{-x}$.

Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 4x^{-1/2} + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2e^{-x}$.

Находим неопределенный интеграл, применяя свойство линейности:

$\int (4x^{-1/2} + \frac{3}{x} - 2e^{-x}) \, dx = 4 \int x^{-1/2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx - 2 \int e^{-x} \, dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|$ и $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax}$:

$4 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 3 \ln|x| - 2 \frac{e^{-x}}{-1} + C = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 3 \ln|x| + 2e^{-x} + C$

Упростим выражение: $4 \cdot 2x^{1/2} + 3 \ln|x| + 2e^{-x} + C = 8\sqrt{x} + 3 \ln|x| + 2e^{-x} + C$.

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $8\sqrt{x} + 3 \ln|x| + 2e^{-x} + C$