Номер 995, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 995, страница 296.

Условие.

995 1) $(2x+1)\sqrt{x};$

2) $(3x-2)\sqrt[3]{x};$

3) $\frac{x+4}{\sqrt[3]{x}};$

4) $\frac{x-3}{\sqrt{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения производной функции $y = (2x+1)\sqrt{x}$ сначала представим ее в виде, удобном для дифференцирования.

Перепишем корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Тогда функция имеет вид: $y = (2x+1)x^{1/2}$.

Раскроем скобки, чтобы применить правило дифференцирования степенной функции:
$y = 2x \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} + x^{1/2} = 2x^{3/2} + x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (2x^{3/2} + x^{1/2})' = (2x^{3/2})' + (x^{1/2})'$
$y' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{1/2 - 1}$
$y' = 3x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Преобразуем выражение к более простому виду, вернувшись к корням и приведя к общему знаменателю:
$y' = 3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

2)

Найдем производную функции $y = (3x-2)\sqrt[3]{x}$.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.
Функция примет вид: $y = (3x-2)x^{1/3}$.

Раскроем скобки:
$y = 3x \cdot x^{1/3} - 2 \cdot x^{1/3} = 3x^{1 + 1/3} - 2x^{1/3} = 3x^{4/3} - 2x^{1/3}$.

Дифференцируем полученное выражение по правилу производной степенной функции:
$y' = (3x^{4/3} - 2x^{1/3})' = (3x^{4/3})' - (2x^{1/3})'$
$y' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3 - 1} - 2 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1}$
$y' = 4x^{1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}$

Упростим выражение, приведя слагаемые к общему знаменателю:
$y' = 4\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x} \cdot 3\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12\sqrt[3]{x^3} - 2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12x - 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $\frac{12x - 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3)

Найдем производную функции $y = \frac{x+4}{\sqrt[3]{x}}$.

Сначала преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель почленно. Для этого представим корень в виде степени $x^{1/3}$.
$y = \frac{x}{x^{1/3}} + \frac{4}{x^{1/3}} = x^{1 - 1/3} + 4x^{-1/3} = x^{2/3} + 4x^{-1/3}$.

Теперь находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{2/3})' + (4x^{-1/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} + 4 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1}$
$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{4}{3}x^{-4/3}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю.
$y' = \frac{2}{3x^{1/3}} - \frac{4}{3x^{4/3}} = \frac{2x}{3x^{4/3}} - \frac{4}{3x^{4/3}} = \frac{2x-4}{3x^{4/3}}$.

Результат можно также записать с использованием корней: $y' = \frac{2x-4}{3\sqrt[3]{x^4}}$.

Ответ: $\frac{2x-4}{3\sqrt[3]{x^4}}$

4)

Найдем производную функции $y = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$.

Преобразуем функцию, представив знаменатель в виде степени и разделив числитель на него почленно:
$y = \frac{x-3}{x^{1/2}} = \frac{x}{x^{1/2}} - \frac{3}{x^{1/2}} = x^{1 - 1/2} - 3x^{-1/2} = x^{1/2} - 3x^{-1/2}$.

Дифференцируем полученное выражение по правилу производной степенной функции:
$y' = (x^{1/2})' - (3x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 3 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1}$
$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2}$.

Упростим, приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} + \frac{3}{2x^{3/2}} = \frac{x}{2x^{3/2}} + \frac{3}{2x^{3/2}} = \frac{x+3}{2x^{3/2}}$.

Результат можно записать с использованием корней: $y' = \frac{x+3}{2\sqrt{x^3}}$.

Ответ: $\frac{x+3}{2\sqrt{x^3}}$