Номер 997, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 997, страница 296.

Условие.

997 Найти первообразную функции $y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}$, которая при $x = \frac{\pi}{3}$ принимает значение, равное 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти первообразную для функции $y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

Общий вид первообразной находится путем интегрирования данной функции:$F(x) = \int (2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}) dx$

Используя свойства интегралов, разобьем его на два:$F(x) = \int 2 \sin 5x \,dx + \int 3 \cos \frac{x}{2} \,dx = 2 \int \sin 5x \,dx + 3 \int \cos \frac{x}{2} \,dx$

Найдем каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ и $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:$2 \int \sin 5x \,dx = 2 \cdot (-\frac{1}{5} \cos 5x) = -\frac{2}{5} \cos 5x$$3 \int \cos \frac{x}{2} \,dx = 3 \cdot (\frac{1}{1/2} \sin \frac{x}{2}) = 3 \cdot (2 \sin \frac{x}{2}) = 6 \sin \frac{x}{2}$

Сложив результаты, получаем общий вид первообразной:$F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, первообразная при $x = \frac{\pi}{3}$ принимает значение, равное 0. То есть, $F(\frac{\pi}{3}) = 0$. Подставим это значение в найденное выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{5} \cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}) + C = 0$$-\frac{2}{5} \cos(\frac{5\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{6}) + C = 0$

Вычислим значения тригонометрических функций:$\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение:$-\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} + C = 0$$-\frac{1}{5} + 3 + C = 0$$\frac{-1 + 15}{5} + C = 0$$\frac{14}{5} + C = 0$$C = -\frac{14}{5}$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общий вид первообразной:$F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{14}{5}$

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{14}{5}$