Номер 1003, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - номер 1003, страница 301.

Условие.

1003 Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $x=b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x):$

1) $b=2, f(x)=5x-x^2, 2 \le x \le 5;$

2) $b=3, f(x)=x^2+2x;$

3) $b=1, f(x)=e^x-1;$

4) $b=2, f(x)=1-\frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, при условии, что $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.

1) $b=2$, $f(x) = 5x - x^2$, $2 \le x \le 5$

Фигура ограничена графиком функции $y = 5x - x^2$, осью $Ox$ ($y=0$). Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$: $5x - x^2 = 0 \implies x(5-x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Функция $f(x)$ является параболой с ветвями, направленными вниз, и она неотрицательна на отрезке $[0, 5]$. В условии задачи указана прямая $x=b=2$ и дополнительное ограничение $2 \le x \le 5$. Это означает, что нужно найти площадь фигуры на отрезке $[2, 5]$. Таким образом, фигура ограничена кривой $y=5x-x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=2$ и $x=5$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл: $S = \int_{2}^{5} (5x - x^2) \,dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \int (5x - x^2) \,dx = 5\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(5) - F(2) = \left(5\frac{5^2}{2} - \frac{5^3}{3}\right) - \left(5\frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3}\right) = \left(\frac{125}{2} - \frac{125}{3}\right) - \left(\frac{20}{2} - \frac{8}{3}\right)$ $S = \left(\frac{375 - 250}{6}\right) - \left(10 - \frac{8}{3}\right) = \frac{125}{6} - \frac{30 - 8}{3} = \frac{125}{6} - \frac{22}{3}$ $S = \frac{125 - 44}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: $13.5$

2) $b=3$, $f(x) = x^2 + 2x$

Фигура ограничена графиком функции $y = x^2 + 2x$, осью $Ox$ и прямой $x=3$. Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$: $x^2 + 2x = 0 \implies x(x+2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Функция $f(x)$ является параболой с ветвями, направленными вверх. Прямая $x=3$ и корень $x=0$ определяют отрезок интегрирования $[0, 3]$. На этом отрезке функция $f(x) \ge 0$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл: $S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) \,dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (x^2 + 2x) \,dx = \frac{x^3}{3} + x^2$.

По формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{3} + 3^2\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2\right) = (9 + 9) - 0 = 18$.

Ответ: $18$

3) $b=1$, $f(x) = e^x - 1$

Фигура ограничена графиком функции $y = e^x - 1$, осью $Ox$ и прямой $x=1$. Найдем точку пересечения графика с осью $Ox$: $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$. Прямая $x=1$ и корень $x=0$ определяют отрезок интегрирования $[0, 1]$. На этом отрезке функция $f(x) \ge 0$, так как $e^x \ge 1$ при $x \ge 0$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл: $S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \,dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (e^x - 1) \,dx = e^x - x$.

По формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(1) - F(0) = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = (e - 1) - 1 = e - 2$.

Ответ: $e-2$

4) $b=2$, $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$

Фигура ограничена графиком функции $y = 1 - \frac{1}{x}$, осью $Ox$ и прямой $x=2$. Найдем точку пересечения графика с осью $Ox$: $1 - \frac{1}{x} = 0 \implies 1 = \frac{1}{x} \implies x = 1$. Прямая $x=2$ и корень $x=1$ определяют отрезок интегрирования $[1, 2]$. На этом отрезке функция $f(x) \ge 0$, так как при $x \ge 1$ имеем $\frac{1}{x} \le 1$, следовательно $1 - \frac{1}{x} \ge 0$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл: $S = \int_{1}^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right) \,dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int \left(1 - \frac{1}{x}\right) \,dx = x - \ln|x|$.

По формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(2) - F(1) = (2 - \ln|2|) - (1 - \ln|1|) = (2 - \ln 2) - (1 - 0) = 1 - \ln 2$.

Ответ: $1 - \ln 2$