Номер 1008, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1008, страница 304.

Условие.

1008 1) $\int_{-2}^{1} x (x+3) (2x-1)dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (x+1) (x^2-2)dx;$

3) $\int_{1}^{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2} \left(1 - \frac{2}{x}\right)dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки.

$ f(x) = x(x+3)(2x-1) = x(2x^2 - x + 6x - 3) = x(2x^2 + 5x - 3) = 2x^3 + 5x^2 - 3x $

Теперь найдем первообразную $ F(x) $ для подынтегральной функции $ f(x) $:

$ F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = 2\frac{x^4}{4} + 5\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} $

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{-2}^{1} (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = \left. \left( \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{-2}^{1} $

Подставим пределы интегрирования:

$ F(1) = \frac{1^4}{2} + \frac{5 \cdot 1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = -1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} $

$ F(-2) = \frac{(-2)^4}{2} + \frac{5 \cdot (-2)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} = \frac{16}{2} + \frac{5(-8)}{3} - \frac{3(4)}{2} = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = \frac{6-40}{3} = -\frac{34}{3} $

Вычислим разность:

$ F(1) - F(-2) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{34}{3} = \frac{36}{3} = 12 $

Ответ: $12$

2)

Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx $ раскроем скобки в подынтегральном выражении.

$ f(x) = (x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2 $

Найдем первообразную $ F(x) $:

$ F(x) = \int (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \left. \left( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x \right) \right|_{-1}^{0} $

Подставим пределы интегрирования:

$ F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2(0) = 0 $

$ F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3 - 4 + 12}{12} = \frac{11}{12} $

Вычислим разность:

$ F(0) - F(-1) = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12} $

Ответ: $-\frac{11}{12}$

3)

Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx $ возведем подынтегральное выражение в квадрат, используя формулу квадрата суммы.

$ f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2} $

Найдем первообразную $ F(x) $:

$ F(x) = \int (x^2 + 2 + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{2} \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} \right) \right|_{1}^{2} $

Подставим пределы интегрирования:

$ F(2) = \frac{2^3}{3} + 2(2) - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2} = \frac{16 + 24 - 3}{6} = \frac{37}{6} $

$ F(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1) - \frac{1}{1} = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $

Вычислим разность:

$ F(2) - F(1) = \frac{37}{6} - \frac{4}{3} = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6} $

Ответ: $\frac{29}{6}$

4)

Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx $ упростим подынтегральное выражение.

$ f(x) = \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right) = \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} = 4x^{-2} - 8x^{-3} $

Найдем первообразную $ F(x) $:

$ F(x) = \int (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx = 4\frac{x^{-1}}{-1} - 8\frac{x^{-2}}{-2} = -4x^{-1} + 4x^{-2} = -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3}\right) dx = \left. \left( -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} \right) \right|_{-2}^{-1} $

Подставим пределы интегрирования:

$ F(-1) = -\frac{4}{-1} + \frac{4}{(-1)^2} = 4 + 4 = 8 $

$ F(-2) = -\frac{4}{-2} + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3 $

Вычислим разность:

$ F(-1) - F(-2) = 8 - 3 = 5 $

Ответ: $5$