Номер 1015, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1015, страница 308.

Условие.

1015 1) Графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и осью $Ox$;

2) графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x-2)^2$ и осью Ox ($y=0$), сначала найдем точки пересечения этих линий.

1. Пересечение $y = \sqrt{x}$ и $y = 0$: $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка (0, 0).
2. Пересечение $y = (x-2)^2$ и $y = 0$: $(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка (2, 0).
3. Пересечение $y = \sqrt{x}$ и $y = (x-2)^2$: $\sqrt{x} = (x-2)^2$. Легко проверить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $\sqrt{1} = 1$ и $(1-2)^2 = 1$. Точка пересечения (1, 1).

Фигура расположена над осью Ox. Ее нижняя граница — это ось Ox. Верхняя граница состоит из двух частей: на отрезке $[0, 1]$ это график $y=\sqrt{x}$, а на отрезке $[1, 2]$ — график $y=(x-2)^2$. Таким образом, площадь фигуры можно вычислить как сумму площадей двух криволинейных трапеций.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx + \int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3}$

$\int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{(2-2)^3}{3} - \frac{(1-2)^3}{3} = \frac{0}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$

Суммируем полученные значения:

$S = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$

Ответ: 1

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью Ox ($y=0$). Сначала определим точки пересечения.

1. Пересечение $y = x^3$ и $y=0$: $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка (0, 0).
2. Пересечение $y = 2x - x^2$ и $y=0$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=2$. Точки (0, 0) и (2, 0).
3. Пересечение $y = x^3$ и $y = 2x - x^2$: $x^3 = 2x-x^2 \Rightarrow x^3+x^2-2x=0 \Rightarrow x(x^2+x-2)=0 \Rightarrow x(x-1)(x+2)=0$. В неотрицательной области $x$ точки пересечения находятся при $x=0$ и $x=1$. Это точки (0, 0) и (1, 1).

Искомая фигура представляет собой область, у которой верхняя граница задается параболой $y = 2x - x^2$. Нижняя граница состоит из двух частей: на отрезке $[0, 1]$ это кубическая парабола $y=x^3$, а на отрезке $[1, 2]$ — ось Ox ($y=0$).

Площадь $S$ можно найти как сумму двух интегралов. На отрезке $[0, 1]$ площадь равна интегралу от разности верхней и нижней функций, а на отрезке $[1, 2]$ — интегралу от верхней функции (так как нижняя $y=0$).

$S = \int_{0}^{1} ( (2x-x^2) - x^3 ) \,dx + \int_{1}^{2} ( (2x-x^2) - 0 ) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{0}^{1} (2x-x^2-x^3) \,dx = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - 0 = \frac{12-4-3}{12} = \frac{5}{12}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{2} (2x-x^2) \,dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(1^2 - \frac{1^3}{3}\right) = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Общая площадь равна сумме этих значений:

$S = \frac{5}{12} + \frac{2}{3} = \frac{5}{12} + \frac{8}{12} = \frac{13}{12}$

Ответ: $\frac{13}{12}$