Номер 1020, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1020, страница 309.

Условие.

1020 1) Параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$;

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=6x-x^2$ и прямой $y=x+4$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$6x-x^2 = x+4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=4$. Это будут пределы интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(1, 4)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x=2$:

Значение для параболы: $y(2) = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.

Значение для прямой: $y(2) = 2 + 4 = 6$.

Так как $8 > 6$, на всем интервале $(1, 4)$ график параболы $y=6x-x^2$ расположен выше графика прямой $y=x+4$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности функции, график которой выше, и функции, график которой ниже:

$S = \int_{1}^{4} ((6x - x^2) - (x + 4)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - \frac{8}{2} \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) = \left( \frac{-64+72}{3} \right) - \left( \frac{-2-9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6}$

$S = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y=4-x^2$ и прямой $y=x+2$, найдем их точки пересечения, приравняв уравнения:

$4 - x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма -1. Корни уравнения: $x_1=-2$ и $x_2=1$. Это и есть пределы интегрирования.

Теперь определим, график какой функции расположен выше на интервале $(-2, 1)$. Возьмем пробную точку $x=0$:

Значение для параболы: $y(0) = 4 - 0^2 = 4$.

Значение для прямой: $y(0) = 0 + 2 = 2$.

Поскольку $4 > 2$, график параболы $y=4-x^2$ лежит выше графика прямой $y=x+2$ на интервале $(-2, 1)$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1} = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$S = \left( \frac{-2-3+12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8-18}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$