Номер 1023, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1023, страница 309.

Условие.

1023 1) Параболой $y = x^2 + 10$ и касательными к этой параболе, проведёнными из точки $(0; 1)$;

2) гиперболой $y = \frac{1}{x}$, прямой $x = 1$ и касательной к кривой $y = \frac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 10$ и касательными к этой параболе, проведёнными из точки $(0; 1)$.

1. Найдём уравнения касательных.
Пусть $f(x) = x^2 + 10$. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Найдём производную функции: $f'(x) = (x^2 + 10)' = 2x$.
Тогда уравнение касательной в точке $x_0$:
$y = (x_0^2 + 10) + 2x_0(x - x_0)$
$y = x_0^2 + 10 + 2x_0x - 2x_0^2$
$y = 2x_0x - x_0^2 + 10$.
По условию, касательные проходят через точку $(0; 1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение касательной:
$1 = 2x_0 \cdot 0 - x_0^2 + 10$
$1 = -x_0^2 + 10$
$x_0^2 = 9$
Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$.

2. Найдём уравнения касательных.
При $x_0 = 3$: $y = 2 \cdot 3 \cdot x - 3^2 + 10 = 6x + 1$.
При $x_0 = -3$: $y = 2 \cdot (-3) \cdot x - (-3)^2 + 10 = -6x + 1$.

3. Вычислим площадь фигуры.
Фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 10$, а снизу — двумя касательными $y = 6x + 1$ и $y = -6x + 1$. Точки касания имеют абсциссы $x=-3$ и $x=3$. Эти значения являются пределами интегрирования.
Фигура симметрична относительно оси $Oy$, так как парабола $y = x^2 + 10$ является чётной функцией, а касательные $y = 6x + 1$ и $y = -6x + 1$ симметричны относительно оси $Oy$. Поэтому можно вычислить площадь для $x \in [0, 3]$ и умножить результат на 2.
В промежутке $[0, 3]$ фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 10$, а снизу касательной $y = 6x + 1$.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{-3}^{3} (x^2 + 10 - g(x)) dx$, где $g(x) = -6x+1$ для $x \in [-3, 0]$ и $g(x) = 6x+1$ для $x \in [0, 3]$.
Используя симметрию:
$S = 2 \int_{0}^{3} ((x^2 + 10) - (6x + 1)) dx = 2 \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx$.
Заметим, что подынтегральное выражение является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
$S = 2 \int_{0}^{3} (x - 3)^2 dx = 2 \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_0^3 = 2 \left( \frac{(3 - 3)^3}{3} - \frac{(0 - 3)^3}{3} \right) = 2 \left( 0 - \frac{-27}{3} \right) = 2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: 18

2)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{1}{x}$, прямой $x=1$ и касательной к кривой $y = \frac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x = 2$.

1. Найдём уравнение касательной.
Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Точка касания имеет абсциссу $x_0 = 2$. Ордината этой точки: $y_0 = f(2) = \frac{1}{2}$.
Найдём производную: $f'(x) = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$: $k = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$.
Уравнение касательной имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$
$y = -\frac{1}{4}x + \frac{2}{4} + \frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{4}x + 1$.

2. Определим границы фигуры и пределы интегрирования.
Фигура ограничена кривыми $y = \frac{1}{x}$, $y = -\frac{1}{4}x + 1$ и прямой $x=1$.
Пределы интегрирования определяются прямой $x=1$ и точкой пересечения гиперболы и касательной. Мы знаем, что они касаются в точке $x=2$. Проверим это, решив уравнение $\frac{1}{x} = -\frac{1}{4}x + 1$:
$x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x=2$.
Таким образом, интегрирование будет производиться по $x$ от 1 до 2.

3. Вычислим площадь фигуры.
В интервале $[1, 2]$ необходимо определить, какая из функций больше. Вторая производная функции $f(x)=\frac{1}{x}$ равна $f''(x) = \frac{2}{x^3}$. Для $x > 0$ $f''(x)>0$, значит, функция является выпуклой вниз, и её график лежит выше любой своей касательной. Следовательно, на интервале $[1, 2]$ выполняется неравенство $\frac{1}{x} \ge -\frac{1}{4}x + 1$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \left(-\frac{1}{4}x + 1\right) \right) dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - 1 \right) dx$.
Вычислим интеграл:
$S = \left[ \ln|x| + \frac{1}{4}\frac{x^2}{2} - x \right]_1^2 = \left[ \ln x + \frac{x^2}{8} - x \right]_1^2$
$S = \left( \ln 2 + \frac{2^2}{8} - 2 \right) - \left( \ln 1 + \frac{1^2}{8} - 1 \right)$
$S = \left( \ln 2 + \frac{4}{8} - 2 \right) - \left( 0 + \frac{1}{8} - 1 \right)$
$S = \left( \ln 2 + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{8} - 1 \right)$
$S = \ln 2 - \frac{3}{2} - (-\frac{7}{8}) = \ln 2 - \frac{12}{8} + \frac{7}{8} = \ln 2 - \frac{5}{8}$.

Ответ: $\ln 2 - \frac{5}{8}$