Номер 1027, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1027, страница 314.

Условие.

1027 Решить дифференциальное уравнение:

1) $y' = 3 - 4x;$

2) $y' = 6x^2 - 8x + 1;$

3) $y' = 3e^{2x};$

4) $y' = 4 \cos 2x;$

5) $y' = 3 \sin x;$

6) $y' = \cos x - \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить дифференциальное уравнение $y' = 3 - 4x$, необходимо найти все функции $y(x)$, производная которых равна $3 - 4x$. Это достигается путем нахождения неопределенного интеграла от правой части уравнения.
$y = \int (3 - 4x) dx$
Используя свойство линейности интеграла, интегрируем каждое слагаемое отдельно:
$y = \int 3 dx - \int 4x dx = 3x - 4 \frac{x^2}{2} + C$
Упрощая выражение, получаем общее решение:
$y = 3x - 2x^2 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = 3x - 2x^2 + C$.

2) Дано уравнение $y' = 6x^2 - 8x + 1$. Решение находится путем интегрирования правой части:
$y = \int (6x^2 - 8x + 1) dx$
Применяем правило интегрирования для каждого слагаемого (правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$):
$y = \int 6x^2 dx - \int 8x dx + \int 1 dx = 6 \frac{x^3}{3} - 8 \frac{x^2}{2} + x + C$
Упрощая выражение, получаем:
$y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$.

3) Для уравнения $y' = 3e^{2x}$ находим первообразную:
$y = \int 3e^{2x} dx$
Выносим константу за знак интеграла и используем формулу для интегрирования экспоненциальной функции $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx}$:
$y = 3 \int e^{2x} dx = 3 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C$
$y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$.

4) Решаем уравнение $y' = 4 \cos(2x)$ путем интегрирования:
$y = \int 4 \cos(2x) dx$
Используем формулу интегрирования косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$:
$y = 4 \int \cos(2x) dx = 4 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C$
$y = 2\sin(2x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = 2\sin(2x) + C$.

5) Для уравнения $y' = 3 \sin x$ находим интеграл:
$y = \int 3 \sin x dx$
Используя стандартный интеграл от синуса $\int \sin x dx = -\cos x$:
$y = 3 \int \sin x dx = 3(-\cos x) + C$
$y = -3\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = -3\cos x + C$.

6) Решаем уравнение $y' = \cos x - \sin x$ интегрированием:
$y = \int (\cos x - \sin x) dx$
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$y = \int \cos x dx - \int \sin x dx$
Зная, что $\int \cos x dx = \sin x$ и $\int \sin x dx = -\cos x$, получаем:
$y = \sin x - (-\cos x) + C$
$y = \sin x + \cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $y = \sin x + \cos x + C$.