Номер 1031, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1031, страница 314.

Условие.

1031 Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на $3 \text{ см}$, если сила в $2 \text{ Н}$ сжимает эту пружину на $1 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти коэффициент жесткости пружины, используя закон Гука, а затем вычислить работу, затраченную на сжатие.

1. Нахождение коэффициента жесткости пружины

Закон Гука гласит, что сила упругости ($F$), возникающая в пружине, прямо пропорциональна ее деформации ($x$):

$F = kx$

где $k$ — это коэффициент жесткости пружины.

По условию, сила $F_1 = 2$ Н сжимает пружину на $x_1 = 1$ см. Переведем величину сжатия в систему СИ (метры):

$x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Теперь мы можем выразить и вычислить коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{2 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 200 \text{ Н/м}$

2. Вычисление работы при сжатии

Работа, затрачиваемая на сжатие или растяжение пружины, вычисляется по формуле потенциальной энергии упругой деформации:

$A = \frac{kx^2}{2}$

Нам нужно найти работу $A_2$ при сжатии пружины на $x_2 = 3$ см. Переведем эту величину в метры:

$x_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения ($k = 200$ Н/м и $x_2 = 0.03$ м) в формулу для работы:

$A_2 = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot (0.03 \text{ м})^2}{2}$

Проведем вычисления:

$A_2 = \frac{200 \cdot 0.0009}{2} = 100 \cdot 0.0009 = 0.09 \text{ Дж}$

Ответ: 0.09 Дж.