Номер 1033, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10 - номер 1033, страница 315.

Условие.

1033 Для функции $f (x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = \cos x$, $M (0; -2)$;

2) $f(x) = \sin x$, $M (-\pi; 0);

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $M (4; 5);

4) $f(x) = e^x$, $M (0; 2);

5) $f(x) = 3x^2 + 1$, $M (1; -2);

6) $f(x) = 2 - 2x$, $M (2; 3).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $f(x) = \cos x$, $M(0; -2)$

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной для $f(x) = \cos x$ имеет вид: $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $M(0; -2)$, что означает, что при $x=0$ значение функции $F(x)$ равно $-2$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F(0) = \sin(0) + C = -2$

$0 + C = -2$

$C = -2$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \sin x - 2$.

Ответ: $F(x) = \sin x - 2$.

2) $f(x) = \sin x$, $M(-\pi; 0)$

Общий вид первообразной для $f(x) = \sin x$: $F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-\pi; 0)$, следовательно, $F(-\pi) = 0$. Подставим значения:

$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C = 0$

Поскольку $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$-(-1) + C = 0$

$1 + C = 0$

$C = -1$

Искомая первообразная: $F(x) = -\cos x - 1$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 1$.

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $M(4; 5)$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-1/2}$. Общий вид первообразной: $F(x) = \int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(4; 5)$, значит, $F(4) = 5$. Подставим значения:

$F(4) = 2\sqrt{4} + C = 5$

$2 \cdot 2 + C = 5$

$4 + C = 5$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$.

4) $f(x) = e^x$, $M(0; 2)$

Общий вид первообразной для $f(x) = e^x$: $F(x) = \int e^x \,dx = e^x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(0; 2)$, значит, $F(0) = 2$. Подставим значения:

$F(0) = e^0 + C = 2$

$1 + C = 2$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = e^x + 1$.

Ответ: $F(x) = e^x + 1$.

5) $f(x) = 3x^2 + 1$, $M(1; -2)$

Общий вид первообразной для $f(x) = 3x^2 + 1$: $F(x) = \int (3x^2 + 1) \,dx = 3\frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(1; -2)$, значит, $F(1) = -2$. Подставим значения:

$F(1) = 1^3 + 1 + C = -2$

$1 + 1 + C = -2$

$2 + C = -2$

$C = -4$

Искомая первообразная: $F(x) = x^3 + x - 4$.

Ответ: $F(x) = x^3 + x - 4$.

6) $f(x) = 2 - 2x$, $M(2; 3)$

Общий вид первообразной для $f(x) = 2 - 2x$: $F(x) = \int (2 - 2x) \,dx = 2x - 2\frac{x^2}{2} + C = 2x - x^2 + C$.

График первообразной проходит через точку $M(2; 3)$, значит, $F(2) = 3$. Подставим значения:

$F(2) = 2(2) - 2^2 + C = 3$

$4 - 4 + C = 3$

$C = 3$

Искомая первообразная, записанная в стандартном виде для многочлена: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Ответ: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$.