Номер 2, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Проверь себя к главе 10 - номер 2, страница 315.

Условие.

2 Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M (1; -2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ необходимо вычислить ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ имеет вид:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 3 dx$

Применяя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, находим каждый интеграл:

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$

После упрощения получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$

где $C$ — константа интегрирования.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(1; -2)$. Это значит, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $-2$, то есть $F(1) = -2$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение для $F(x)$ чтобы найти значение константы $C$:

$-2 = (1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C$

$-2 = 1 + 1 - 3 + C$

$-2 = -1 + C$

$C = -2 + 1 = -1$

Теперь подставим найденное значение $C = -1$ в общий вид первообразной:

$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$