Номер 1, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Проверь себя к главе 10 - номер 1, страница 315.

Условие.

1 Показать, что функция $F (x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f (x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Чтобы доказать утверждение задачи, нам нужно найти производную функции $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ и сравнить ее с функцией $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$. Обе функции определены и дифференцируемы на всей числовой прямой ($x \in \mathbb{R}$).

Находим производную $F(x)$ по правилу дифференцирования суммы:
$F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'$

Вычислим производную каждого слагаемого в отдельности:
1. Производная сложной функции $e^{2x}$: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
2. Производная степенной функции $x^3$: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
3. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:
$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$.

Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$
$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$
Мы видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Так как производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ на всей числовой прямой, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, что и требовалось доказать.