Номер 1038, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10 - номер 1038, страница 316.

Условие.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).

1038 1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$, $y = 0$;

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$, $y = 0$;

3) $y = x^2 + 1$, $y = x + 1$;

4) $y = x^2 + 2$, $y = 2x + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y=\frac{1}{x}, y=4x, x=1, y=0$

Для нахождения площади фигуры необходимо сначала определить ее границы. Построим графики данных функций. Линии $y=4x$ и $y=\frac{1}{x}$ пересекаются в точке, абсциссу которой найдем из уравнения $4x=\frac{1}{x}$. Это дает $4x^2=1$, и, поскольку из контекста задачи ($y=1/x$, $x=1$) следует, что $x>0$, получаем $x=\frac{1}{2}$.

Фигура ограничена снизу осью абсцисс ($y=0$). Верхняя граница фигуры состоит из двух частей: на отрезке $[0, \frac{1}{2}]$ это прямая $y=4x$, а на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$ это гипербола $y=\frac{1}{x}$. Таким образом, площадь фигуры можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций.

Площадь первой части (под графиком $y=4x$ от $x=0$ до $x=\frac{1}{2}$): $S_1 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx$

Площадь второй части (под графиком $y=\frac{1}{x}$ от $x=\frac{1}{2}$ до $x=1$): $S_2 = \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx$

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$: $S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx$

Вычисляем интегралы: $S = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{1/2} + \left[ \ln|x| \right]_{1/2}^{1} = (2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot 0^2) + (\ln(1) - \ln(\frac{1}{2}))$ $S = (2 \cdot \frac{1}{4}) + (0 - (-\ln(2))) = \frac{1}{2} + \ln(2)$

Ответ: $\frac{1}{2} + \ln(2)$.

2) $y=\frac{1}{x^2}, y=x, x=2, y=0$

Найдем точку пересечения кривых $y=x$ и $y=\frac{1}{x^2}$, решив уравнение $x = \frac{1}{x^2}$, что дает $x^3=1$, откуда $x=1$.

Фигура ограничена снизу осью $y=0$. Верхняя граница фигуры также состоит из двух частей. На отрезке $[0, 1]$ верхняя граница — это прямая $y=x$. На отрезке $[1, 2]$ верхняя граница — это кривая $y=\frac{1}{x^2}$. Площадь фигуры является суммой площадей двух соответствующих криволинейных трапеций.

Площадь первой части (под графиком $y=x$ от $x=0$ до $x=1$): $S_1 = \int_{0}^{1} x \,dx$

Площадь второй части (под графиком $y=\frac{1}{x^2}$ от $x=1$ до $x=2$): $S_2 = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$: $S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx$

Вычисляем интегралы: $S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = (\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}) + (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{1}))$ $S = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $1$.

3) $y=x^2+1, y=x+1$

Фигура ограничена двумя линиями: параболой и прямой. Найдем их точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования: $x^2+1 = x+1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Точки пересечения имеют абсциссы $x=0$ и $x=1$.

На интервале $(0, 1)$ определим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x=0.5$: Для $y=x^2+1$, $y = (0.5)^2+1 = 1.25$. Для $y=x+1$, $y = 0.5+1 = 1.5$. Так как $1.5 > 1.25$, на интервале $(0, 1)$ прямая $y=x+1$ находится выше параболы $y=x^2+1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{0}^{1} ((x+1) - (x^2+1)) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$

Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) $y=x^2+2, y=2x+2$

Найдем точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить пределы интегрирования: $x^2+2 = 2x+2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Точки пересечения имеют абсциссы $x=0$ и $x=2$.

На интервале $(0, 2)$ определим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x=1$: Для $y=x^2+2$, $y = 1^2+2 = 3$. Для $y=2x+2$, $y = 2(1)+2 = 4$. Так как $4 > 3$, на интервале $(0, 2)$ прямая $y=2x+2$ находится выше параболы $y=x^2+2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{0}^{2} ((2x+2) - (x^2+2)) \,dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx$

Вычисляем интеграл: $S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.