Номер 1040, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10 - номер 1040, страница 316.

Условие.

1040 Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Oy, и прямой $x = 1$;

2) гиперболой $y = \frac{4}{x}$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $x = 2$, и прямыми $y = 0, x = 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней в точке пересечения с осью $Oy$, и прямой $x=1$.

1. Найдем точку пересечения параболы с осью $Oy$. Уравнение оси $Oy$ - это $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение параболы:
$y(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0, 2)$.

2. Найдем уравнение касательной к параболе в точке $(0, 2)$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае, $f(x) = x^2 - 2x + 2$ и $x_0 = 0$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $f'(0) = 2(0) - 2 = -2$.
Подставим известные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + (-2)(x - 0)$
$y = -2x + 2$.

3. Фигура ограничена параболой $y_1 = x^2 - 2x + 2$, касательной $y_2 = -2x + 2$ и прямыми $x=0$ (ось $Oy$) и $x=1$. Площадь фигуры можно найти как интеграл от разности верхней и нижней функций на отрезке $[0, 1]$.
Сравним функции на отрезке $[0, 1]$: $y_1 - y_2 = (x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2) = x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ на отрезке $[0, 1]$, парабола находится выше касательной (или совпадает с ней в точке $x=0$).

4. Вычислим площадь $S$ как определенный интеграл:
$S = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} x^2 dx$
$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $S = \frac{1}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{4}{x}$, касательной к ней в точке с абсциссой $x=2$, и прямыми $y=0, x=6$.

1. Найдем точку касания на гиперболе. Дана абсцисса $x_0 = 2$. Найдем ординату:
$y(2) = \frac{4}{2} = 2$.
Точка касания: $(2, 2)$.

2. Найдем уравнение касательной к гиперболе в точке $(2, 2)$.
Функция $f(x) = \frac{4}{x}$. Ее производная: $f'(x) = -\frac{4}{x^2}$.
Значение производной в точке $x_0 = 2$: $f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
$y = 2 + (-1)(x - 2) = 2 - x + 2 = 4 - x$.
Итак, уравнение касательной: $y = 4 - x$.

3. Проанализируем границы фигуры. Фигура ограничена кривыми: $y_h = \frac{4}{x}$ (гипербола), $y_t = 4 - x$ (касательная), $y=0$ (ось абсцисс) и $x=6$.
Найдем точку пересечения касательной с осью $Ox$: $4 - x = 0 \Rightarrow x=4$.
Фигура представляет собой область, ограниченную сверху гиперболой $y = \frac{4}{x}$. Нижняя граница области на отрезке $[2, 4]$ задается касательной $y = 4 - x$, а на отрезке $[4, 6]$ - осью $Ox$ ($y=0$). Левая граница - $x=2$ (точка касания), правая граница - $x=6$.
Таким образом, для вычисления площади необходимо разбить интеграл на две части в точке $x=4$.

4. Вычислим площадь $S$ как сумму двух интегралов:
$S = \int_{2}^{4} \left(\frac{4}{x} - (4-x)\right) dx + \int_{4}^{6} \frac{4}{x} dx$

Вычислим первый интеграл:
$\int_{2}^{4} \left(\frac{4}{x} - 4 + x\right) dx = \left[ 4\ln|x| - 4x + \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
$= \left(4\ln 4 - 4(4) + \frac{4^2}{2}\right) - \left(4\ln 2 - 4(2) + \frac{2^2}{2}\right)$
$= (4\ln(2^2) - 16 + 8) - (4\ln 2 - 8 + 2)$
$= (8\ln 2 - 8) - (4\ln 2 - 6) = 8\ln 2 - 8 - 4\ln 2 + 6 = 4\ln 2 - 2$.

Вычислим второй интеграл:
$\int_{4}^{6} \frac{4}{x} dx = \left[ 4\ln|x| \right]_{4}^{6} = 4\ln 6 - 4\ln 4 = 4(\ln 6 - \ln 4) = 4\ln\left(\frac{6}{4}\right) = 4\ln\left(\frac{3}{2}\right)$.
$4\ln\left(\frac{3}{2}\right) = 4(\ln 3 - \ln 2) = 4\ln 3 - 4\ln 2$.

Найдем общую площадь, сложив результаты:
$S = (4\ln 2 - 2) + (4\ln 3 - 4\ln 2) = 4\ln 3 - 2$.

Ответ: $S = 4\ln 3 - 2$.