Номер 3, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Проверь себя к главе 10 - номер 3, страница 315.

Условие.

3 Вычислить:

1) $\int_{1}^{2} 3x^3 dx;$

2) $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2};$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} 3x^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^3$.

$F(x) = \int 3x^3 dx = 3 \int x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4}$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{2} 3x^3 dx = \left. \frac{3x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{3 \cdot 2^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^4}{4} = \frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} = 3 \cdot 4 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4}$.

Ответ: $\frac{45}{4}$

2) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2}$.

Перепишем подынтегральную функцию в виде степенной функции: $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-2}$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2} = \left. -\frac{1}{x} \right|_{2}^{4} = \left(-\frac{1}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$

4) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin(kx)$ находится по формуле $F(x) = -\frac{1}{k}\cos(kx)$. В нашем случае $k=2$.

Следовательно, первообразная для $f(x) = \sin 2x$ есть $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = \left. -\frac{1}{2}\cos 2x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \left(-\frac{1}{2}\cos(2\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos(\pi)$.

Зная, что $\cos(2\pi)=1$ и $\cos(\pi)=-1$, получаем:

$-\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Ответ: $-1$