Номер 4, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Проверь себя к главе 10 - номер 4, страница 315.

Условие.

4 Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox;$

2) графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$ (уравнение которой $y=0$), первым шагом определим пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$, решив уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Эти значения и будут нашими пределами интегрирования.

Фигура расположена под осью $Ox$, так как ветви параболы направлены вверх, и на интервале $(-3, 2)$ значения функции $y$ отрицательны. Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла. В данном случае площадь равна интегралу от разности верхней функции ($y=0$) и нижней ($y=x^2+x-6$):

$S = \int_{-3}^{2} (0 - (x^2 + x - 6)) dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6) dx$

Теперь вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 - x + 6) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right) \right|_{-3}^{2}$

$S = \left( -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6 \cdot (-3) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 12 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} - 18 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} - 2 + 12 \right) - \left( 9 - \frac{9}{2} - 18 \right)$

$S = \left( 10 - \frac{8}{3} \right) - \left( -9 - \frac{9}{2} \right) = \left( \frac{30-8}{3} \right) - \left( \frac{-18-9}{2} \right)$

$S = \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}$

Площадь фигуры равна $125/6$ или $20 \frac{5}{6}$ квадратных единиц.

Ответ: $S = \frac{125}{6}$

2)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками параболы $y = x^2 + 1$ и прямой $y = 10$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 1 = 10$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Это будут пределы интегрирования.

На интервале $[-3, 3]$ график прямой $y = 10$ находится выше графика параболы $y = x^2 + 1$. Следовательно, для нахождения площади нужно из верхней функции вычесть нижнюю и проинтегрировать результат:

$S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 9 - x^2$ является четной, так как $f(-x) = 9 - (-x)^2 = 9 - x^2 = f(x)$. Интервал интегрирования $[-3, 3]$ симметричен относительно нуля. В этом случае можно упростить вычисление, взяв интеграл от 0 до 3 и умножив результат на 2:

$S = 2 \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx$

Найдем первообразную и вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = 2 \left. \left( 9x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3}$

$S = 2 \left( \left( 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \right)$

$S = 2 \left( \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - 0 \right) = 2 (27 - 9) = 2 \cdot 18 = 36$

Площадь фигуры равна 36 квадратным единицам.

Ответ: $S = 36$