Номер 1034, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10 - номер 1034, страница 315.

Условие.

1034 Вычислить интеграл:

1) $\int_{-1}^{2} 2 dx;$2) $\int_{-2}^{2} (3-x)dx;$3) $\int_{1}^{3} (x^{2}-2x)dx;$4) $\int_{-1}^{1} (2x-3x^{2})dx;$5) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx;$6) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^{3}};$7) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} 2 dx$.

Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2$.

$F(x) = \int 2 dx = 2x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{2} 2 dx = 2x \Big|_{-1}^{2} = 2(2) - 2(-1) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{2} (3-x) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3 - x$.

$F(x) = \int (3-x) dx = 3x - \frac{x^2}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{2} (3-x) dx = \left(3x - \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-2}^{2} = \left(3(2) - \frac{2^2}{2}\right) - \left(3(-2) - \frac{(-2)^2}{2}\right) = \left(6 - \frac{4}{2}\right) - \left(-6 - \frac{4}{2}\right) = (6 - 2) - (-6 - 2) = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12$.

Ответ: 12

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^2 - 2x$.

$F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx = \left(\frac{x^3}{3} - x^2\right) \Big|_{1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1^2\right) = \left(\frac{27}{3} - 9\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = (9 - 9) - \left(-\frac{2}{3}\right) = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2x - 3x^2$.

$F(x) = \int (2x - 3x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} = x^2 - x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx = (x^2 - x^3) \Big|_{-1}^{1} = (1^2 - 1^3) - ((-1)^2 - (-1)^3) = (1 - 1) - (1 - (-1)) = 0 - (1+1) = -2$.

Ответ: -2

5) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx$.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4}(1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{8})^4 - \frac{3}{4}(1) = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}(16) - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4}$.

Ответ: $\frac{45}{4}$

6) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3} = \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \Big|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

7) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \cos x$.

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2