Номер 1028, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1028, страница 314.

Условие.

1028 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:

1) $y' = \sin x$, $y(0) = 0;$

2) $y' = 2 \cos x$, $y(\pi) = 1;$

3) $y' = 3x^2 + 4x - 1$, $y(1) = -2;$

4) $y' = 2 + 2x - 3x^2$, $y(-1) = 2;$

5) $y' = e^x$, $y(1) = 1;$

6) $y' = e^{-x}$, $y(0) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ с начальным условием $y(0) = 0$.
Чтобы найти функцию $y(x)$, необходимо найти первообразную для функции $y' = \sin x$. Это делается путем интегрирования:
$y(x) = \int \sin x \, dx = -\cos x + C$
Здесь $C$ — константа интегрирования. Мы получили общее решение дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в общее решение:
$0 = -\cos(0) + C$
$0 = -1 + C$
Отсюда $C = 1$.
Подставляем найденное значение $C$ в общее решение:
$y(x) = -\cos x + 1$.
Ответ: $y(x) = 1 - \cos x$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2 \cos x$ с начальным условием $y(\pi) = 1$.
Интегрируем правую часть, чтобы найти общее решение:
$y(x) = \int 2 \cos x \, dx = 2 \sin x + C$.
Используем начальное условие $y(\pi) = 1$:
$1 = 2 \sin(\pi) + C$
$1 = 2 \cdot 0 + C$
$C = 1$.
Подставляем значение $C$ и получаем частное решение:
$y(x) = 2 \sin x + 1$.
Ответ: $y(x) = 2 \sin x + 1$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 + 4x - 1$ с начальным условием $y(1) = -2$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int (3x^2 + 4x - 1) \, dx = 3 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$.
Подставляем начальное условие $y(1) = -2$ в общее решение:
$-2 = (1)^3 + 2(1)^2 - 1 + C$
$-2 = 1 + 2 - 1 + C$
$-2 = 2 + C$
$C = -4$.
Частное решение:
$y(x) = x^3 + 2x^2 - x - 4$.
Ответ: $y(x) = x^3 + 2x^2 - x - 4$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2 + 2x - 3x^2$ с начальным условием $y(-1) = 2$.
Интегрируем, чтобы найти общее решение:
$y(x) = \int (2 + 2x - 3x^2) \, dx = 2x + 2 \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^3}{3} + C = 2x + x^2 - x^3 + C$.
Используем начальное условие $y(-1) = 2$:
$2 = 2(-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C$
$2 = -2 + 1 - (-1) + C$
$2 = -2 + 1 + 1 + C$
$2 = 0 + C$
$C = 2$.
Записываем частное решение, упорядочив слагаемые по убыванию степеней $x$:
$y(x) = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.
Ответ: $y(x) = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.

5) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^x$ с начальным условием $y(1) = 1$.
Общее решение находим интегрированием:
$y(x) = \int e^x \, dx = e^x + C$.
Подставляем начальное условие $y(1) = 1$:
$1 = e^1 + C$
$C = 1 - e$.
Частное решение:
$y(x) = e^x + 1 - e$.
Ответ: $y(x) = e^x + 1 - e$.

6) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^{-x}$ с начальным условием $y(0) = 2$.
Общее решение:
$y(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.
Подставляем начальное условие $y(0) = 2$:
$2 = -e^{-0} + C$
$2 = -1 + C$
$C = 3$.
Частное решение:
$y(x) = -e^{-x} + 3$.
Ответ: $y(x) = 3 - e^{-x}$.