Номер 1026, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1026, страница 314.

Условие.

1026 Скорость прямолинейно движущегося тела равна $v(t) = 4t - t^2$. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана функция скорости тела в зависимости от времени $t$: $v(t) = 4t - t^2$.

Для того чтобы вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти временной интервал движения.
Начало движения соответствует моменту времени $t_1 = 0$. Остановка тела происходит в момент времени $t_2$, когда его скорость $v(t)$ становится равной нулю. Найдем этот момент, решив уравнение:

$v(t) = 0$

$4t - t^2 = 0$

$t(4 - t) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t = 0$ (начальный момент) и $t = 4$. Следовательно, тело останавливается в момент времени $t_2 = 4$. Движение происходит на временном промежутке от $t=0$ до $t=4$.

2. Вычислить путь как определенный интеграл.
Путь $S$, пройденный телом, равен интегралу от модуля скорости по времени. Формула пути: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

Проверим знак функции скорости $v(t) = 4t - t^2$ на интервале $(0, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $t = 2$:

$v(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Поскольку скорость в этой точке положительна, а функция $v(t)$ непрерывна и обращается в ноль только на границах интервала $[0, 4]$, то на всем интервале $(0, 4)$ скорость $v(t) > 0$. Это означает, что тело все время двигалось в одном направлении, и модуль скорости равен самой скорости: $|v(t)| = v(t)$.

Таким образом, путь можно вычислить как определенный интеграл от функции скорости:

$S = \int_{0}^{4} (4t - t^2) dt$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (4t - t^2) dt = 4 \cdot \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Это значение можно также представить в виде смешанной дроби: $10 \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.