Номер 1022, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов. Глава 10. Интеграл - номер 1022, страница 309.

Условие.

1022 1) Параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$;

2) параболой $y = -x^2$ и прямой $y = -2$;

3) параболами $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1$;

4) графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 1, x = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$, выполним следующие шаги:
1. Найдем уравнение прямой. Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек $(1; 0)$ и $(0; -3)$:
$\frac{y - 0}{-3 - 0} = \frac{x - 1}{0 - 1} \implies \frac{y}{-3} = \frac{x - 1}{-1} \implies y = 3(x - 1) = 3x - 3$.
2. Найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем их уравнения:
$-x^2 + 4x - 3 = 3x - 3$
$-x^2 + x = 0$
$x(-x + 1) = 0$
Следовательно, точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
3. Определим, какая функция больше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку $x = 0.5$ (середина интервала):
Для параболы: $y = -(0.5)^2 + 4(0.5) - 3 = -0.25 + 2 - 3 = -1.25$.
Для прямой: $y = 3(0.5) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5$.
Так как $-1.25 > -1.5$, на интервале $(0, 1)$ график параболы находится выше графика прямой.
4. Вычислим площадь как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_0^1 ((-x^2 + 4x - 3) - (3x - 3)) dx = \int_0^1 (-x^2 + x) dx$.
$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2}\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2$ и прямой $y = -2$, выполним следующие шаги:
1. Найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения графиков:
$-x^2 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Пределы интегрирования: от $a = -\sqrt{2}$ до $b = \sqrt{2}$.
2. Определим, какая функция больше на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Парабола $y = -x^2$ с ветвями вниз и вершиной в $(0, 0)$ находится выше горизонтальной прямой $y = -2$ на данном интервале.
3. Вычислим площадь как определенный интеграл:
$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx$.
Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2 - x^2$ является четной (симметричной относительно оси OY), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:
$S = 2 \int_0^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}}$.
$S = 2 \left( (2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left(2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{6\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

3) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1$, выполним следующие шаги:
1. Найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения парабол:
$1 - x^2 = x^2 - 1 \implies 2 = 2x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Пределы интегрирования: от $a = -1$ до $b = 1$.
2. Определим, какая функция больше на интервале $(-1, 1)$. Парабола $y = 1 - x^2$ (ветви вниз, вершина в $(0, 1)$) находится выше параболы $y = x^2 - 1$ (ветви вверх, вершина в $(0, -1)$) на данном интервале.
3. Вычислим площадь как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^1 ((1 - x^2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^1 (2 - 2x^2) dx$.
Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2 - 2x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны, вычисление можно упростить:
$S = 2 \int_0^1 (2 - 2x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1$.
$S = 2 \left( (2(1) - \frac{2(1)^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left(2 - \frac{2}{3}\right) = 2 \left(\frac{6 - 2}{3}\right) = 2 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 1$, $x = -2$, выполним следующие шаги:
1. Определим границы области интегрирования. Область ограничена вертикальной прямой $x=-2$ слева. Найдем правую границу, определив точку пересечения кривой $y = x^3$ и прямой $y=1$:
$x^3 = 1 \implies x = 1$.
Таким образом, интегрирование будет производиться по $x$ от $-2$ до $1$.
2. Определим, какая функция является верхней, а какая нижней границей на интервале $[-2, 1]$. Для любого $x$ из этого интервала $x \le 1$, поэтому $x^3 \le 1^3=1$. Значит, прямая $y=1$ является верхней границей, а кривая $y=x^3$ - нижней.
3. Вычислим площадь как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^1 (1 - x^3) dx$.
$S = \left[x - \frac{x^4}{4}\right]_{-2}^1 = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right)$.
$S = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{16}{4}\right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3 + 24}{4} = \frac{27}{4}$.
Ответ: $\frac{27}{4}$.