Номер 1025, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1025, страница 314.

Условие.

1025 Тело движется прямолинейно со скоростью $v(t)$ (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от $t = t_1$ до $t = t_2$:

1) $v(t) = 3t^2 + 1, t_1 = 0, t_2 = 4;$

2) $v(t) = 2t^2 + t, t_1 = 1, t_2 = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Путь, пройденный телом, движущимся прямолинейно, является физической величиной, равной определенному интегралу от модуля скорости по времени. Если скорость на всем промежутке неотрицательна (тело движется в одном направлении), то путь равен интегралу от самой скорости.
Формула для вычисления пути $s$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$:
$s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
В обоих представленных случаях функции скорости $v(t)$ положительны на заданных промежутках времени, поэтому мы можем использовать эту формулу напрямую.

1) Дано: $v(t) = 3t^2 + 1$ (м/с), $t_1 = 0$ c, $t_2 = 4$ c.
Найдем путь $s$, вычислив определенный интеграл:
$s = \int_{0}^{4} (3t^2 + 1) dt$
Сначала найдем первообразную (неопределенный интеграл) для подынтегральной функции:
$F(t) = \int (3t^2 + 1) dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + t = t^3 + t$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$s = [t^3 + t]_{0}^{4} = (4^3 + 4) - (0^3 + 0) = (64 + 4) - 0 = 68$ (м).
Ответ: 68 м.

2) Дано: $v(t) = 2t^2 + t$ (м/с), $t_1 = 1$ c, $t_2 = 3$ c.
Найдем путь $s$, вычислив определенный интеграл:
$s = \int_{1}^{3} (2t^2 + t) dt$
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(t) = \int (2t^2 + t) dt = 2 \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} = \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2}$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$s = \left[ \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3^2}{2} \right) - \left( \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right)$
$s = \left( \frac{2 \cdot 27}{3} + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) = \left( 18 + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right)$
$s = \left( \frac{36}{2} + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \right) = \frac{45}{2} - \frac{7}{6} = \frac{135}{6} - \frac{7}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}$ (м).
Ответ: $\frac{64}{3}$ м.