Номер 1021, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1021, страница 309.

Условие.

1021 1) Параболой $y=2-x^2$ и прямой $y=-x$;

2) прямой $y=1$, осью $Oy$ и графиком функции $y=\sin x$ при

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Параболой $y=2-x^2$ и прямой $y=-x$

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:
$2 - x^2 = -x$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Эти значения будут пределами интегрирования.

Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале $[-1, 2]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
Для параболы: $y(0) = 2 - 0^2 = 2$
Для прямой: $y(0) = -0 = 0$
Поскольку $2 > 0$, на интервале $[-1, 2]$ график параболы $y = 2 - x^2$ расположен выше графика прямой $y = -x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по интервалу от $x_1$ до $x_2$:
$S = \int_{-1}^{2} ((2 - x^2) - (-x)) \,dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \,dx$

Вычислим определенный интеграл:
$S = \left( 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-1}^{2} = \left( 2(2) + \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 2(-1) + \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} \right)$
$S = \left( 4 + \frac{4}{2} - \frac{8}{3} \right) - \left( -2 + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)$
$S = \left( \frac{18-8}{3} \right) - \left( \frac{-12+3+2}{6} \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2) прямой $y=1$, осью Оу и графиком функции $y=\sin x$ при $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$

Фигура ограничена следующими линиями:
- прямой $y=1$ (сверху);
- графиком функции $y=\sin x$ (снизу), так как на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ значение $\sin x$ не превышает 1;
- осью Оу, что соответствует прямой $x=0$ (слева).
Правой границей области является точка пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$. Уравнение $\sin x = 1$ на заданном отрезке имеет решение $x = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ равны от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) \,dx$

Вычислим определенный интеграл:
$S = \left( x - (-\cos x) \right) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (x + \cos x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$S = \left( \frac{\pi}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - (0 + \cos(0))$
Так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$S = \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$