Номер 1017, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1017 1) Параболой $y = x^2 + 1$ и прямой $y = 3 - x$;

2) параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2$;

3) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x.

1) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 1$ и прямой $y = 3 - x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 + 1 = 3 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это и будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций находится выше на интервале $(-2, 1)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

Для параболы: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Для прямой: $y(0) = 3 - 0 = 3$.

Так как $3 > 1$, на интервале $[-2, 1]$ график прямой $y = 3 - x$ лежит выше графика параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((3 - x) - (x^2 + 1)) \,dx = \int_{-2}^{1} (3 - x - x^2 - 1) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( \frac{-2-3+12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8-18}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2$. Сначала найдем точки их пересечения:

$(x + 2)^2 = x + 2$

$(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$

$(x + 2)( (x + 2) - 1) = 0$

$(x + 2)(x + 1) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Это пределы интегрирования.

Определим, какая функция выше на интервале $(-2, -1)$. Возьмем пробную точку $x = -1.5$.

Для параболы: $y(-1.5) = (-1.5 + 2)^2 = (0.5)^2 = 0.25$.

Для прямой: $y(-1.5) = -1.5 + 2 = 0.5$.

Так как $0.5 > 0.25$, на интервале $[-2, -1]$ график прямой $y = x + 2$ лежит выше графика параболы $y = (x + 2)^2$.

Площадь $S$ фигуры равна:

$S = \int_{-2}^{-1} ((x + 2) - (x + 2)^2) \,dx = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x^2 + 4x + 4)) \,dx = \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 3x - 2) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-2}^{-1} = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} - 2(-1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} - 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right) = \left( \frac{2-9+12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{5}{6} - \left( \frac{8-6}{3} \right)$

$S = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x$. Область определения функции $y=\sqrt{x}$ есть $x \ge 0$. Найдем точки пересечения:

$\sqrt{x} = x$

Возведем обе части в квадрат:

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Определим, какая функция выше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку $x = 0.25$.

Для $y = \sqrt{x}$: $y(0.25) = \sqrt{0.25} = 0.5$.

Для $y = x$: $y(0.25) = 0.25$.

Так как $0.5 > 0.25$, на интервале $[0, 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика прямой $y = x$.

Площадь $S$ фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \,dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{0^2}{2} \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$