Номер 1016, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1016, страница 308.

Условие.

1016 1) Параболой $y = x^2 + 3x$ и осью $Ox$;

2) параболой $y = x^2 - 4x + 3$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 3x$ и осью $Ox$, сначала определим пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$, приравняв уравнение параболы к нулю:

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Парабола $y = x^2 + 3x$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), следовательно, на интервале $(-3, 0)$ она находится ниже оси $Ox$. Площадь криволинейной трапеции, расположенной под осью $Ox$, вычисляется по формуле $S = -\int_a^b f(x)dx$ или $S = |\int_a^b f(x)dx|$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = |\int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) dx| = |[\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_{-3}^{0}|$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = |(\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-3)^2}{2})| = |0 - (\frac{-27}{3} + \frac{3 \cdot 9}{2})|$

$S = |-(-9 + \frac{27}{2})| = |-(-\frac{18}{2} + \frac{27}{2})| = |-\frac{9}{2}| = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 3$ и осью $Ox$. Сначала найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$, решив уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Это будут пределы интегрирования.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, поэтому на интервале $(1, 3)$ график функции находится ниже оси $Ox$. Площадь фигуры можно вычислить как модуль определенного интеграла.

Вычислим интеграл:

$S = |\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx| = |[\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x]_{1}^{3}| = |[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x]_{1}^{3}|$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = |(\frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3) - (\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1)|$

$S = |(\frac{27}{3} - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3)| = |(9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} + 1)|$

$S = |0 - (\frac{1}{3} + \frac{3}{3})| = |-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$