Номер 1014, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1014, страница 308.

Условие.

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1014—1023).

1014 1) Параболой $y = (x + 1)^2$, прямой $y = 1 - x$ и осью $Ox$;

2) параболой $y = 4 - x^2$, прямой $y = x + 2$ и осью $Ox$;

3) параболой $y = 4x - x^2$, прямой $y = 4 - x$ и осью $Ox$;

4) параболой $y = 3x^2$, прямой $y = 1.5x + 4.5$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = (x + 1)^2$, прямой $y = 1 - x$ и осью Ox ($y = 0$), сначала найдем точки пересечения этих линий.

1. Пересечение параболы $y = (x + 1)^2$ и прямой $y = 1 - x$:

$(x + 1)^2 = 1 - x$

$x^2 + 2x + 1 = 1 - x$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Точки пересечения при $x = 0$ (y=1) и $x = -3$ (y=4).

2. Пересечение параболы $y = (x + 1)^2$ с осью Ox ($y = 0$):

$(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

3. Пересечение прямой $y = 1 - x$ с осью Ox ($y = 0$):

$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1, 0)$.

Фигура расположена над осью Ox. На промежутке от $x = -1$ до $x = 0$ верхняя граница фигуры — это парабола $y = (x+1)^2$. На промежутке от $x = 0$ до $x = 1$ верхняя граница — это прямая $y = 1-x$. Таким образом, площадь фигуры является суммой двух интегралов:

$S = \int_{-1}^{0} (x+1)^2 \,dx + \int_{0}^{1} (1-x) \,dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{-1}^{0} (x+1)^2 \,dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{(0+1)^3}{3} - \frac{(-1+1)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{0}^{1} (1-x) \,dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - 0) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Общая площадь:

$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $S = \frac{5}{6}$

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$, прямой $y = x + 2$ и осью Ox ($y = 0$).

1. Найдем точки пересечения линий:

Парабола и прямая: $4 - x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) = 0$. Точки пересечения при $x = -2$ (y=0) и $x = 1$ (y=3).

Парабола и ось Ox: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Прямая и ось Ox: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница фигуры определяется наименьшим из значений функций $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$ на интервале, где они обе неотрицательны.

На промежутке $[-2, 1]$ имеем $x+2 \leq 4-x^2$. На промежутке $[1, 2]$ прямая находится выше параболы, но обе функции положительны.

Таким образом, верхняя граница фигуры на промежутке $[-2, 1]$ задается прямой $y=x+2$, а на промежутке $[1, 2]$ — параболой $y=4-x^2$. Площадь является суммой двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{1} (x+2) \,dx + \int_{1}^{2} (4-x^2) \,dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{-2}^{1} (x+2) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{9}{2}$

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{1}^{2} (4-x^2) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3}$

Общая площадь:

$S = \frac{9}{2} + \frac{5}{3} = \frac{27+10}{6} = \frac{37}{6}$

Ответ: $S = \frac{37}{6}$

3)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4x - x^2$, прямой $y = 4 - x$ и осью Ox ($y = 0$).

1. Найдем точки пересечения линий:

Парабола и прямая: $4x - x^2 = 4 - x \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0$. Точки пересечения при $x = 1$ (y=3) и $x = 4$ (y=0).

Парабола и ось Ox: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x) = 0$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Прямая и ось Ox: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница определяется наименьшим из значений функций $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$.

На промежутке $[0, 1]$ имеем $4x-x^2 \leq 4-x$. На промежутке $[1, 4]$ имеем $4-x \leq 4x-x^2$.

Следовательно, на промежутке $[0, 1]$ верхняя граница — парабола $y=4x-x^2$, а на промежутке $[1, 4]$ — прямая $y=4-x$. Площадь является суммой двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} (4x-x^2) \,dx + \int_{1}^{4} (4-x) \,dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{0}^{1} (4x-x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{5}{3}$

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{1}^{4} (4-x) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left(16 - \frac{16}{2}\right) - \left(4 - \frac{1}{2}\right) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$

Общая площадь:

$S = \frac{5}{3} + \frac{9}{2} = \frac{10+27}{6} = \frac{37}{6}$

Ответ: $S = \frac{37}{6}$

4)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$, прямой $y = 1.5x + 4.5$ и осью Ox ($y = 0$).

1. Найдем точки пересечения линий:

Парабола и прямая: $3x^2 = 1.5x + 4.5 \Rightarrow 6x^2 - 3x - 9 = 0 \Rightarrow 2x^2 - x - 3 = 0$. Решая квадратное уравнение, получаем $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$. Точки пересечения при $x = 1.5$ (y=6.75) и $x = -1$ (y=3).

Парабола и ось Ox: $3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $(0, 0)$.

Прямая и ось Ox: $1.5x + 4.5 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка $(-3, 0)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница определяется наименьшим из значений функций $y = 3x^2$ и $y = 1.5x + 4.5$. Интервал интегрирования по оси Ox от $-3$ до $0$.

На промежутке $[-3, -1]$ имеем $1.5x+4.5 \leq 3x^2$. На промежутке $[-1, 0]$ имеем $3x^2 \leq 1.5x+4.5$.

Следовательно, на промежутке $[-3, -1]$ верхняя граница — прямая $y=1.5x+4.5$, а на промежутке $[-1, 0]$ — парабола $y=3x^2$. Площадь является суммой двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{-1} (1.5x+4.5) \,dx + \int_{-1}^{0} 3x^2 \,dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{-3}^{-1} (1.5x+4.5) \,dx = \left[ \frac{1.5x^2}{2} + 4.5x \right]_{-3}^{-1} = \left[ \frac{3}{4}x^2 + \frac{9}{2}x \right]_{-3}^{-1} = \left(\frac{3}{4} - \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{3}{4}(9) - \frac{9}{2}(3)\right) = \left(\frac{3-18}{4}\right) - \left(\frac{27}{4} - \frac{27}{2}\right) = -\frac{15}{4} - \left(-\frac{27}{4}\right) = \frac{12}{4} = 3$

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{-1}^{0} 3x^2 \,dx = \left[ x^3 \right]_{-1}^{0} = 0 - (-1)^3 = 1$

Общая площадь:

$S = 3 + 1 = 4$

Ответ: $S = 4$