Номер 1018, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1018, страница 308.

Условие.

1018 1) Параболами $y = 6x^2$, $y = (x - 3)(x - 4)$ и осью $Ox$;

2) параболами $y = 4 - x^2$, $y = (x - 2)^2$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y=6x^2$, $y=(x-3)(x-4)$ и осью $Ox$, необходимо сначала найти точки пересечения этих кривых и определить границы интегрирования.

Первая парабола $y=6x^2$ пересекает ось $Ox$ (где $y=0$) в точке $x=0$. Ветви параболы направлены вверх.

Вторая парабола $y=(x-3)(x-4) = x^2-7x+12$ пересекает ось $Ox$ в точках $x=3$ и $x=4$. Ветви параболы также направлены вверх.

Найдем точки пересечения двух парабол, приравняв их уравнения:
$6x^2 = x^2-7x+12$
$5x^2+7x-12=0$
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289 = 17^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-24}{10} = -2.4$
$x_2 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Искомая фигура расположена над осью $Ox$. Её нижняя граница — это ось $Ox$. Верхняя граница фигуры формируется "нижней" из двух парабол. На промежутке от $x=0$ до $x=1$ (точка пересечения парабол), кривая $y=6x^2$ находится ниже кривой $y=x^2-7x+12$. На промежутке от $x=1$ до $x=3$ (где вторая парабола пересекает ось $Ox$), кривая $y=x^2-7x+12$ находится ниже. Таким образом, искомая площадь является суммой площадей двух криволинейных трапеций.

Площадь $S$ равна сумме двух интегралов:
$S = \int_0^1 6x^2 \,dx + \int_1^3 (x^2-7x+12) \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$S_1 = \int_0^1 6x^2 \,dx = \left[ 6\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = [2x^3]_0^1 = 2(1)^3 - 2(0)^3 = 2$.

Вычислим второй интеграл:
$S_2 = \int_1^3 (x^2-7x+12) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x \right]_1^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{7 \cdot 3^2}{2} + 12 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} + 12 \cdot 1 \right)$
$= \left( 9 - \frac{63}{2} + 36 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right)$
$= \left( 45 - 31.5 \right) - \left( \frac{2 - 21 + 72}{6} \right) = 13.5 - \frac{53}{6} = \frac{27}{2} - \frac{53}{6} = \frac{81 - 53}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

Общая площадь равна сумме площадей:
$S = S_1 + S_2 = 2 + \frac{14}{3} = \frac{6}{3} + \frac{14}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y=4-x^2$, $y=(x-2)^2$ и осью $Ox$, найдем точки пересечения кривых.

Парабола $y=4-x^2$ (ветви вниз) пересекает ось $Ox$ ($y=0$) в точках $x=-2$ и $x=2$.

Парабола $y=(x-2)^2$ (ветви вверх) касается оси $Ox$ в точке $x=2$.

Найдем точки пересечения двух парабол:
$4-x^2 = (x-2)^2$
$4-x^2 = x^2-4x+4$
$2x^2-4x=0$
$2x(x-2)=0$
Параболы пересекаются в точках с абсциссами $x=0$ и $x=2$.

Фигура, площадь которой нужно найти, расположена над осью $Ox$. Её нижняя граница — ось $Ox$. Верхняя граница состоит из двух частей, так как параболы пересекаются в точке $x=0$.
На промежутке $[-2, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y=4-x^2$.
На промежутке $[0, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y=(x-2)^2$.

Следовательно, площадь фигуры $S$ вычисляется как сумма двух определенных интегралов:
$S = \int_{-2}^0 (4-x^2) \,dx + \int_0^2 (x-2)^2 \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$S_1 = \int_{-2}^0 (4-x^2) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0$
$= (4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) - (4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}) = 0 - (-8 - \frac{-8}{3}) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$.

Вычислим второй интеграл:
$S_2 = \int_0^2 (x-2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_0^2$
$= \frac{(2-2)^3}{3} - \frac{(0-2)^3}{3} = \frac{0}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$.

Общая площадь:
$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
Ответ: $8$.