Номер 1019, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1019, страница 309.

Условие.

1019 1) Графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси $Ox$ и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$;

2) графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ оси $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $. Подставим координаты точек $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$: $ \frac{y - 0}{1 - 0} = \frac{x - 0}{\frac{\pi}{2} - 0} $. Отсюда получаем уравнение прямой: $y = \frac{2}{\pi}x$.

Фигура ограничена тремя линиями: $y = \sin x$, $y = \frac{2}{\pi}x$ и $y = 0$ (ось Ox) на отрезке $x \in [0; \pi]$. Это означает, что фигура расположена выше оси Ox, а ее верхняя граница определяется той из функций $y=\sin x$ или $y=\frac{2}{\pi}x$, которая находится ниже. Найдем точки пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \frac{2}{\pi}x$: они пересекаются при $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ справедливо неравенство $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$, поэтому нижней из двух кривых является прямая $y = \frac{2}{\pi}x$.
На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ справедливо неравенство $\frac{2}{\pi}x \ge \sin x$, поэтому нижней из двух кривых является $y = \sin x$.

Таким образом, площадь фигуры $S$ складывается из двух частей:
1. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ фигура ограничена сверху прямой $y = \frac{2}{\pi}x$ и снизу осью $Ox$.
2. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ фигура ограничена сверху кривой $y = \sin x$ и снизу осью $Ox$.

Вычислим площадь $S$ как сумму двух интегралов: $ S = \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx $.

Вычислим первый интеграл (площадь треугольника): $ \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{\pi} [x^2]_0^{\pi/2} = \frac{1}{\pi} \left( \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{\pi} \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{4}. $

Вычислим второй интеграл: $ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -(-1) - (0) = 1. $

Общая площадь равна сумме площадей: $ S = 1 + \frac{\pi}{4}. $

Ответ: $1 + \frac{\pi}{4}$.

2)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox.

Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$), а сверху — графиками функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ обе функции неотрицательны. Верхняя граница искомой фигуры определяется той из функций, которая лежит ниже, то есть $y = \min(\sin x, \cos x)$.

Найдем точку пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$: $ \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}. $

Определим, какая из функций меньше на двух полученных подынтервалах:
- На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ имеем $\cos x \ge \sin x$. Следовательно, верхняя граница фигуры — это график $y = \sin x$.
- На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ имеем $\sin x \ge \cos x$. Следовательно, верхняя граница фигуры — это график $y = \cos x$.

Таким образом, искомая площадь $S$ является суммой площадей двух криволинейных трапеций, вычисляемой как сумма двух интегралов: $ S = \int_0^{\pi/4} \sin x \,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx $.

Вычислим первый интеграл: $ \int_0^{\pi/4} \sin x \,dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = (-\cos \frac{\pi}{4}) - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}. $

Вычислим второй интеграл: $ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}. $

Общая площадь равна сумме: $ S = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}. $

Ответ: $2 - \sqrt{2}$.